| 1 |
Пролог.
...Физика
— это как пирог:
(1)
- Первый этаж: наблюдения,
эксперименты. - Второй этаж: дифференциальные уравнения.
- Третий этаж: геометрия
- Четвёртый этаж: теория групп.
Группы управляют геометрией,
которая порождает красивые дифференциальные уравнения.
С помощью дифференциальных уравнений
мы строим вещи, которые затем используются для объяснения или предсказания того, что мы называем физическими
фактами.
...Исторически люди начали изучать и кодифицировать
факты, наблюдения, проводя измерения. Затем они вообразили законы сохранения
и «физические законы». В начале века они начали думать,
что физические законы могут иметь какое-то отношение к геометрии.
В тот же период Феликс
Клейн спросил:
Что
такое геометрия?
Заметьте, он сказал «некая геометрия», а не «геометрия» (Эрлангенская программа)
...Клейн,
Ли, Картан и другие показали, что под геометрической видимостью что-то лежит.
Геометрия не была последним этажом, nec plus ultra познания в физике.
Из групповой структуры можно построить геометрию.
В дальнейшем мы попытаемся
показать связь между группами, геометрией и физикой.
Кстати, над группами — что?
...Я
склонен сказать: логика. Но логика — это квартира, последним жильцом которой был Курт
Гёдель, опасный поджигатель. Своей известной теоремой он поджёг
мебель, которая была полностью уничтожена. С тех пор эта трагедия, комната
пустует.
...Поэтому я поставил там вопросительный знак.
Группы.
...Что такое
группа? В дальнейшем мы ограничим исследование динамическими группами
физики: множеством квадратных матриц (n,n), подчиняющихся определённым аксиомам. Эти матрицы
g, элементы
группы G, действуют друг на друга через классическое (строка-столбец) матричное
умножение. Среди этих квадратных матриц мы находим единичные матрицы.
(1-бис)
...Группа
подчиняется аксиомам, определённым норвежским математиком Софусом Ли.
Эти аксиомы применимы к объектам, которые гораздо более общие, чем множества матриц.
Но мы ограничим свой взгляд этим особым миром и будем использовать матричное
умножение:
x
1 - Первая аксиома
теории групп:
Произведение двух элементов
g1 и g2 группы G:
(2)
g3
= g1 x g2
подчиняется:
(3)
Приведём пример
группы матриц, которая зависит от одного параметра a. Элемент
таков:
(4)
Произведение двух элементов
даёт:
(5)
или:
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
Мы можем записать матричное произведение:
(7)
которое подобно g1
и g2, то есть:
(8)
Противоположный пример: рассмотрим следующее множество матриц, которые зависят
от одного параметра a
(9)
Произведение двух элементов
даёт:
(10)
которое принципиально отличается от (5).
2 - Вторая аксиома
теории групп:
Во множестве элементов
мы должны найти особый, называемый нейтральным элементом e, который в сочетании
с любым другим элементом подчиняется:
(11)
g x e = ex g = g
В группах, элементы которых
являются квадратными матрицами, этот нейтральный элемент e всегда является единичной матрицей
1.
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Заметьте, мы используем светлый шрифт
для описания скаляров и жирный шрифт для других объектов: квадратных, строчных
или столбцовых матриц.
Вернёмся к
первому примеру группы:
(13)
Заметим, что:
(14)
