a4101
| 1 |
|---|
Пролог.
...Физика похожа на торт:
(1)
- Первый этаж: наблюдения, эксперименты.
- Второй этаж: дифференциальные уравнения.
- Третий этаж: геометрия - Четвертый этаж: теория групп.
Группы управляют геометрией, которая порождает красивые дифференциальные уравнения.
С помощью дифференциальных уравнений мы строим вещи, которые затем используются для объяснения или предсказания того, что мы называем физическими фактами.
...Исторически люди начали изучать и кодировать факты, наблюдения, производя измерения. Затем они придумали законы сохранения и "физические законы". В начале века они начали думать, что физические законы могут быть связаны с геометрией.
В то же время Феликс Клейн спросил: Что такое геометрия?
Обратите внимание, он сказал "геометрия" и не "геометрия" (программа Эрлангена).
...Клейн, Ли, Картан и другие показали, что за внешней геометрической оболочкой скрывается нечто. Геометрия не была последним этажом, вершиной знаний в физике. Из структуры группы можно построить геометрию.
В дальнейшем мы попытаемся показать связь между группами, геометрией и физикой.
В процессе, касающегося групп, что?
...Я склонен сказать: логика. Но логика — это комната, последним жителем которой был Курт Гёдель, опасный поджигатель. Своей известной теоремой он поджег мебель, которая была полностью уничтожена. С тех пор комната пуста.
...Поэтому я поставил вопросительный знак там.
Группы.
...Что такое группа? В дальнейшем мы ограничим изучение динамическими группами физики: набором квадратных матриц (n,n), подчиняющихся определенным аксиомам. Эти матрицы g, элементы группы G, действуют друг на друга через классическое умножение матриц (строка-столбец). Среди этих квадратных матриц находятся единичные матрицы.
(1-бис)
...Группа подчиняется аксиомам, определенным норвежским математиком Софусом Ли. Эти аксиомы применяются к объектам, гораздо более общим, чем множества матриц. Но мы ограничим наше внимание этим особенным миром и будем использовать умножение матриц:
x
1 - Первый аксиома теории групп :
Произведение двух элементов g1 и g2 группы G :
(2)
g3 = g1 x g2
подчиняется :
(3)
Давайте приведем пример группы матриц, зависящей от одного параметра a. Элемент:
(4)
Произведение двух элементов дает:
(5)
или:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Мы можем записать матричное произведение:
(7)
что похоже на g1 и g2, то есть:
(8)
Противоположный пример: рассмотрим следующий набор матриц, зависящих от одного параметра a
(9)
Произведение двух элементов дает:
(10)
что фундаментально отличается от (5).
2 - Второй аксиома теории групп :
В множестве элементов мы должны найти особый элемент, называемый нейтральным элементом e, который, комбинируясь с любым другим элементом, подчиняется:
(11) g x **e = e **x **g **= g
В группах, элементы которых являются квадратными матрицами, этот нейтральный элемент e всегда является единичной матрицей 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Обратите внимание, что мы используем обычный шрифт для скаляров и жирный шрифт для других объектов: квадратные матрицы, строки или столбцы.
Вспомним первый пример группы:
(13)
Обратите внимание, что:
(14)
Индекс теории динамических групп
Оригинальная версия (английский)
a4101
| 1 |
|---|
Пролог.
...Физика похожа на торт:
(1)
- Первый этаж: наблюдения, эксперименты.
- Второй этаж: дифференциальные уравнения.
- Третий этаж: геометрия - Четвертый этаж: теория групп.
Группы управляют геометрией, которая порождает красивые дифференциальные уравнения.
С помощью дифференциальных уравнений мы строим вещи, которые затем используются для объяснения или предсказания того, что мы называем физическими фактами.
...Исторически люди начали изучать и кодировать факты, наблюдения, производя измерения. Затем они придумали законы сохранения и "физические законы". В начале века они начали думать, что физические законы могут быть связаны с геометрией.
В то же время Феликс Клейн спросил: Что такое геометрия?
Обратите внимание, он сказал "геометрия" и не "геометрия" (программа Эрлангена).
...Клейн, Ли, Картан и другие показали, что за внешней геометрической оболочкой скрывается нечто. Геометрия не была последним этажом, вершиной знаний в физике. Из структуры группы можно построить геометрию.
В дальнейшем мы попытаемся показать связь между группами, геометрией и физикой.
В процессе, касающегося групп, что?
...Я склонен сказать: логика. Но логика — это комната, последним жителем которой был Курт Гёдель, опасный поджигатель. Своей известной теоремой он поджег мебель, которая была полностью уничтожена. С тех пор комната пуста.
...Поэтому я поставил вопросительный знак там.
Группы.
...Что такое группа? В дальнейшем мы ограничим изучение динамическими группами физики: набором квадратных матриц (n,n), подчиняющихся определенным аксиомам. Эти матрицы g, элементы группы G, действуют друг на друга через классическое умножение матриц (строка-столбец). Среди этих квадратных матриц находятся единичные матрицы.
(1-бис)
...Группа подчиняется аксиомам, определенным норвежским математиком Софусом Ли. Эти аксиомы применяются к объектам, гораздо более общим, чем множества матриц. Но мы ограничим наше внимание этим особенным миром и будем использовать умножение матриц:
x
1 - Первый аксиома теории групп :
Произведение двух элементов g1 и g2 группы G :
(2)
g3 = g1 x g2
подчиняется :
(3)
Давайте приведем пример группы матриц, зависящей от одного параметра a. Элемент:
(4)
Произведение двух элементов дает:
(5)
или:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Мы можем записать матричное произведение:
(7)
что похоже на g1 и g2, то есть:
(8)
Противоположный пример: рассмотрим следующий набор матриц, зависящих от одного параметра a
(9)
Произведение двух элементов дает:
(10)
что фундаментально отличается от (5).
2 - Второй аксиома теории групп :
В множестве элементов мы должны найти особый элемент, называемый нейтральным элементом e, который, комбинируясь с любым другим элементом, подчиняется:
(11) g x **e = e **x **g **= g
В группах, элементы которых являются квадратными матрицами, этот нейтральный элемент e всегда является единичной матрицей 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Обратите внимание, что мы используем обычный шрифт для скаляров и жирный шрифт для других объектов: квадратные матрицы, строки или столбцы.
Вспомним первый пример группы:
(13)
Обратите внимание, что:
(14)