a4102
| 2 |
|---|
3 - Третий аксиома теории групп :
Каждый элемент группы должен иметь свой обратный, обозначаемый как g⁻¹, определяемый как:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
В нашем примере:
(16)
то есть: b = - a или:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Здесь вычисление обратной матрицы тривиально.
Какова условие, чтобы данная квадратная матрица имела обратную?
...Каждой квадратной матрице можно сопоставить скаляр, называемый определителем. Для определения см. учебник по линейному исчислению. Этот определитель обозначается как: det ( g )
Кроме того, у нас есть общая теорема:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
Определитель диагональной матрицы равен:
(18)
Следовательно: det ( 1 ) = 1
поскольку 1 является диагональной матрицей.
Согласно определению обратной матрицы:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Тогда:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Если det (g) = 0, условие (19) не может быть выполнено. Множества матриц, элементы которых имеют нулевой определитель, не удовлетворяют третьему аксиому и не могут образовать группу.
Кроме того:
(20)
4 - Четвертый аксиома теории групп :
Умножение должно быть ассоциативным, то есть:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Матричное умножение является фундаментально ассоциативным.
Размер группы :
...Как мы увидим, группа может действовать на пространство, точки которого описываются столбцовыми векторами. Например, точки пространства-времени (называемые "событиями") :
(22)
...Это четырехмерное пространство. Различные группы могут на него действовать. Но размер группы не имеет ничего общего с размерностью пространства, на котором она действует.
Размер группы (матриц) - это количество параметров, определяющих эти квадратные матрицы.
Мы привели пример матриц, определяемых одним параметром
a
Таким образом, размер этой группы равен единице.
Обратите внимание, что:
(22-бис)
Примечание :
Не все группы матриц являются коммутативными, хотя группа, которую мы изучали, обладает этой свойством:
(23)
Если такая группа действует на столбцовом векторе, соответствующем двумерному пространству:
(23-бис)
это соответствует вращению вокруг фиксированной точки в плоскости:
(23-тер)
Эта операция явно коммутативна.
Вы склонны говорить: «как все группы вращений».
...Вы ошибаетесь. Рассмотрите вращения вокруг осей, проходящих через заданную точку O. Скомбинируйте два последовательных вращения вокруг разных осей. Это не коммутативно. Упражнение: покажите это, используя систему ортогональных осей (OX, OY, OZ), показывая, что комбинированные вращения вокруг этих осей не образуют коммутативную операцию. Возьмите любой объект.
- Сделайте поворот на +90° вокруг OX, затем поворот на +90° вокруг OZ
- Вернитесь в исходные условия и:
- Сделайте поворот на +90° вокруг OZ, затем поворот на +90° вокруг OX
Сравните результаты.
Действие группы.
...Группа G состоит из квадратных матриц g. Их можно умножать. Мы скажем, что группа может действовать на саму себя.
Группа также может действовать на пространство, состоящее из точек, описываемых столбцовыми векторами. Пример:
(24)
Если мы обозначим:
(25)
действие группы на это пространство становится:
(26) g × r
...В этом частном случае действие на пространство сводится к простому матричному умножению. Но понятие действия гораздо более общее.
Оригинальная версия (английский)
a4102
| 2 |
|---|
3 - Third axiom of groups' theory :
Any element of the group must own its inverse , written g-1 , defined by :
(15) g x **** g-1 = g-1 x **** g = 1
In our example :
(16)
i.e : b = - a or :
(17) g-1 ( a ) = **g **( - a )
Here the calculation of the inverse matrix is trivial.
What is the condition for a given square matrix to own its inverse ?
...To any square matrix we can associate a scalar called *determinant *. For definition see any book devoted to linear calculus . This determinant is codified : det ( g )
In addition we have a general theorem :
det (g1 x **** **g2) = det (g1 ) ** x **** det (g1 )
The determinant of a *diagonal matrix *is :
(18)
As a consequence : det ( **1 **) = 1
for 1 is a diagonal matrix.
From the definition of the inverse of a matrix :
g x g-1 = g-1 x **** g = 1
Then :
(19)
det ( g x **** g-1 ) = det (g) x **** det (g-1 ) = 1
...If det (g) = 0 the condition (19) cannot be satisfied. Sets of matrixes whose peculiar elements own null determinant don't satisfy the third axiom, and cannot form a group.
By the way :
(20)
4 - Fourth axiom **of groups'theory **:
The multiplication must be associative, i. e : .
(21)
( g1 x ****g2 ) x **** g3 =g1 x **** ( g2 x **** g3 )
Matrix multiplication is basically associative.
Dimension of a group :
...As we will see, a group may act on a space whose points are described by column-vectors. For an example space-time points (called "events") :
(22)
...This is a four dimensions space. Different groups may act on it. But the dimension of a group has nothing to do with the dimension of the space it acts on.
The dimension of a group (of matrixes) is the number of parameters which define these square matrix.
We have given an example of matrixes, defined by a single parameter
a
So that the dimension of this group is one.
Notice that :
(22-bis)
Remark :
All groups of matrixes are not *commutative *, although the group we studied owns this property :
(23)
If such group acts on a column vector, corresponding to a 2d space :
(23 bis)
it corresponds to rotation around a fixed point, in a plane :
(23 ter)
This operation is obviously commutative.
You will tend to say : "like all rotations groups".
...You're wrong. Consider the rotations around axis passing by a given point O. Combine two successive rotations, around different axis. This is not commutative. Exercise : show that, using orthogonal axis system (OX, OY, OZ), combined rotations around these axis is not a commutative operation.. Take any object.
- Make a rotation +90° around OX, then a rotation +90° around OZ
Return to initial conditions and :
- Make a rotation +90° around OZ, then a rotation +90° around OX
Compare the results.
Group's action.
...A group G is composed by square matrixes g . They can be multiplied. We will say that a group may act on itself .
The group may also act on a space, made of points, described by column vectors. Example :
(24)
If we write :
(25)
the action of the group on this space becomes :
(26) **g ** x **** r
...In this peculiar case the action on space identifies to the simple matrix multiplication. But the concept of an action is much more general.