a4114
| 14 |
|---|
Проект.
... Нашей отправной точкой будет динамическая группа G, то есть семейство квадратных матриц g.
... Динамическая: потому что здесь задействовано время.
... Эта группа обладает определенной размерностью n. Она может действовать на пространство X, которое имеет свою собственную размерность (которая не имеет никакого отношения к размерности группы, последняя определяется количеством независимых параметров, задающих каждую матрицу g из множества, образующего группу G).
... Теперь нам нужно действие, чтобы определить пространство, на котором группа действует — пространство импульсов. Это пространство не является пространством-временем, в котором, как предполагается, движутся частицы. Построение такого пространства приведёт нас в странную страну, похожую на шизофреническую землю. Но если вы последуете этим путём, вы будете ближе к физической реальности, чем когда-либо прежде.
... Когда у нас будет пространство для игры и действие, на котором можно действовать, мы сможем классифицировать импульсы-движения по видам и отождествить эти виды с элементарными частицами.
... Ранее мы указали, что произведение группы на вектор, соответствующее SO(2) и O(2), а также SO(3) и O(3), представляет собой действие: g × r
то есть:
(166b)
Заметим, что мы можем записать это эквивалентным образом:
(167)
Для ориентированной евклидовой группы и полной евклидовой группы необходимо записать действие:
(168)
Но эти действия, равно как и соответствующие действия динамических групп на пространстве, например:
(169)
не дают... ничего. Они просто перемещают объекты в пространстве, или в пространстве-времени, или в более тонких пространствах (пяти-, десяти-мерные пространства).
Нам нужно найти что-то «скрытое под группой»: её пространство импульсов (у всех групп матриц оно есть) и её
ковариантное действие на своём пространстве импульсов,
что соответствует реальной физике.
Что такое физика?
... Хороший вопрос. Французский математик Жан-Мари Суриа придумал понятие ковариантного действия группы на её пространстве импульсов и продемонстрировал его в начале семидесятых годов. Этот момент будет подробно разработан далее.
... Конечно, физик после завершения расчётов спросит:
Почему?
... Иными словами, это работает, но можем ли мы придать физический смысл этому понятию ковариантного действия динамической группы на её пространстве импульсов? Ответ, кажется, отрицательный.
... Представьте, что вы ученик Аристотеля. Внезапно у вас возникает интуиция, и вы придумываете новое слово, чтобы назвать это явление:
инерция.
... Аристотель приходит. Он узнал от других учеников, что вы изобрели нечто новое, и спрашивает:
— Можете ли вы объяснить нам, что означает слово инерция?
Вы не сможете сделать это, используя терминологию Аристотеля. Вы столкнулись с сменой парадигмы.
... Перейдём к Средним векам. Попробуйте объяснить химическую реакцию на языке четырёх стихий. Это также невозможно...
Ковариантное действие группы на её пространстве импульсов — это смена парадигмы. Это новый взгляд на физику.
На самом деле физики постоянно работают с действиями групп, когда говорят об «инвариантности» или «законах сохранения».
Такой обычный физик спросит:
— Можете ли вы объяснить мне, простыми словами, если возможно, что означает ковариантное действие группы на её пространстве импульсов?
Мы отвечаем:
— Почему вы используете законы сохранения в физике?
— Ах... потому что существуют сохраняющиеся величины: энергия, масса, электрический заряд...
— Почему они сохраняются?
— Но это фундаментальный принцип!
— Дорогой мой друг, рассмотрите ковариантное действие группы на её пространстве импульсов как фундаментальный принцип.
— Что вы имеете в виду?
— Любая физика основана на групповой структуре. Если вы определите группу, вы сможете построить её ковариантное действие и соответствующее пространство импульсов. Затем компоненты импульса станут соответствующими физическими величинами.
— ........
Внимание. Если вы физик (даже теоретик...) и читаете следующее, вы претерпите парадигматическую трансформацию. После этого физика будет просто... другой.
Действия.
Что такое действие?
Что-то, связанное с группой, подчиняющееся следующим аксиомам:
(170)
Конечно, для групп матриц операция композиции имеет вид:
x
(умножение матриц по строкам и столбцам)
Для групп матриц мы можем записать:
(171)
Рассмотрим столбцовый вектор:
(172)
где x, например, представляет векторы (173)
Является ли выражение (174)
удовлетворяющим аксиомам действия? Пусть g и g' — два элемента группы G.
(175)
(175b)
Мы должны иметь:
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
то есть:
(177)
в силу свойства ассоциативности:
(178) g'' = g × g'
Следовательно, это действительно действие группы.
... Обратите внимание, что мы поместили элемент g группы G слева. Что произойдёт, если поместить его справа? Тогда он должен сочетаться с строковой матрицей y.
(179) Ag(y) = y × g
Является ли это действием?