a4115
| 15 |
|---|
Нам нужно:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Но:
Произведение двух матриц, как правило, не коммутативно. В результате:
(181) Ag(y) = y × g
не является действием группы: она не удовлетворяет вышеуказанным аксиомам. Однако она соответствует «антидействию»:
(182)
Для матриц:
(183)
Мы продолжаем поиск действий и антидействий. Из вектора x мы можем построить транспонированный и попробовать:
(184)
Является ли это действием? Проверим.
g" = g × g'
(185)
(186)
Здесь мы используем теорему линейного исчисления:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
где M и N — произвольные матрицы (n,n). Отсюда:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
и:
(189)
что действительно является действием группы. Рассмотрим теперь:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Покажем, что это действие. Мы рассмотрим следующие три матрицы.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Нам нужно проверить:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Рассчитаем левую часть:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
или:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
то есть:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Это действительно действие группы. Мы назовем его, по Souriau,
сопряженное действие:
(193)
Теперь мы рассмотрим антидействие группы на матрице m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Покажем, что оно удовлетворяет:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Рассчитаем левую часть:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
или:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
то есть:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
или:
(199) g"⁻¹ × m × g"