a4116
| 16 |
|---|
Нам нужно:
Дуальные действия.
Выше мы построили действие:
(200)
и антидействие:
(201)
Первое может относиться к любому столбцовому вектору m:
(202) m' = g x m
а второе — к любому строковому вектору n:
(203) n' = n x g-1
m принадлежит определённому пространству M
n принадлежит другому пространству N.
Формируем скаляр:
(204) S = n m Заметим, что:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
... Мы скажем, что рассмотренные два действия являются дуальными. Аналогично, два пространства M и N, к которым принадлежат m и n, являются дуальными пространствами: N = M* или M = N*
Обычно говорят, что если m — вектор, то n — его ковектор.
Префикс co характерен для дуальности. Как отметил Суриа, дуальность существует и в политике, и он добавляет:
- Дуальность присутствовала в марксизме-ленинизме с самого начала. Подумайте о коммунисте и мунисте.
Перейдём к другой точке зрения. Предположим, у нас есть одно действие, и мы хотим построить его дуальное.
Схематически:
(206)
... Чтобы образовать скалярное произведение со столбцовым вектором m, вектор n должен быть строковым. Эти два вектора должны быть определены одним и тем же числом скалярных параметров:
(207)
затем мы ищем дуальное действие:
(208)
n' = Ag(n) таким образом, чтобы скалярное произведение:
(209)
оставалось инвариантным. Должно выполняться:
(210)
n' m' = n m Имеем:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
решение которого:
(213) Ag(n) = n x g-1
К построению основного действия, или коядунтного действия группы на её пространстве импульсов (после Суриа).
Мы ищем действие группы на её «пространстве импульсов». Мы будем строить его как дуальное антидействию:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... В предыдущем разделе m было вектором. Но в (214) это матрица. Мы будем рассматривать матрицу, зависящую от определённого числа параметров: { m1 , m2 , . . . . , mn }
Нам нужно представить двойственную систему скаляров: { n1 , n2 , . . . . , nn }
такую, что:
(215)
Схематически:
(216)