a4117
| 17 |
|---|
Выбор матрицы m.
...Группа G может быть сопоставлена с определённой поверхностью. Она зависит от определённого количества параметров. Пусть P — это пространство параметров группы, а p — точка этого пространства. Количество этих параметров pi является размерностью группы.
(217)
Показано: нейтральный элемент e (единичная матрица 1).
Мы можем задать приращение d p:
(218)
...Затем мы дифференцируем матрицу g, которая является элементом группы. Получаем квадратную матрицу dg, которая не принадлежит группе. Её называют касательным вектором к группе. Эти касательные векторы образуют то, что называется алгеброй Ли группы (которая, кстати, на самом деле не является алгеброй).
Мы выбираем дифференцирование в окрестности нейтрального элемента:
(219)
и выбираем следующее антидействие:
(220) AAg( m) = g⁻¹ × dg(g=e) × g
Примечание:
Почему мы выбираем касательный вектор к группе в точке g = 1?
...Мы могли бы использовать более общую форму, касательный вектор dg в любой точке группы. Мы получили бы тот же результат, но вычисления были бы значительно сложнее.
Размерность группы — n. Матрица g зависит от n параметров { pi }.
Элемент алгебры Ли dg(g=e) зависит от того же количества параметров { d pi }.
Вычисление приведённого выше антидействия даёт отображение:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Мы вводим то же количество скаляров: { J i }
Мы называем этот набор моментом J группы. J = { J i }
Это набор из n величин, n скаляров. Иногда мы можем представить его в виде матрицы (действие Пуанкаре на свой момент).
{ J i } — это котангенциальный вектор { d p i } к касательному вектору группы. Дуальность даёт:
(222)
Из сохранения скалярного произведения, если мы знаем отображение:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
мы можем построить двойственное отображение:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Это и есть основное действие, которое мы ищем, и Суриа называет его коаджоинтным действием группы на пространстве своих моментов.
Лучший способ проиллюстрировать этот концепт — привести пример:
Коаджоинтное действие группы Пуанкаре на её пространстве моментов Jp.
Выше мы представили обобщённую группу Лоренца. Выбрав:
(225)
мы получаем группу Лоренца L, элемент L которой подчиняется аксиоматическому определению:
(226)
Вектор пространства-времени — (227)
При c = 1 мы получаем элементарную квадратичную форму, метрику Минковского:
(228)
Обратная матрица — (229)
Теперь введём пространственно-временную трансляцию:
(230)
элемент gp группы Пуанкаре Gp строится следующим образом:
(231)
Упражнение: показать, что это группа, и вычислить обратную матрицу:
(232)
Элемент алгебры Ли — (233)
и антидействие:
(234) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
Заметим, что
(235) G d L
— это антисимметричная матрица. Обозначим её:
(236)
откуда:
(237)
Пусть:
(238)
Из этого можно построить антидействие:
(239) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
что даёт нам отображение:
(240)
(240b) (240c)
— это искомое отображение:
(241)