a4119
| 19 |
|---|
Частицы со спином.
...Группа Пуанкаре описывает релятивистское движение точечного объекта. Аналогично, группа Баргмана описывает нерелятивистское движение. Компоненты импульса возникают как чисто геометрические величины. Это — геометризация физики. Физики знакомы с энергией E и вектором импульса p. Но они могут немного озадачиться двумя другими объектами: «переходом» f и вектором спина l. Форма компонент импульса зависит от выбора координат. ...У каждой динамической группы есть своё пространство импульсов и сопряжённое действие на этом пространстве. Если бы вместо того, чтобы сначала выбрать релятивистский мир (группу Пуанкаре), мы выбрали нерелятивистский мир, нам пришлось бы обратиться к группе Баргмана. Для вычислительных деталей см. мои лекции по группам. Группа Баргмана — это нетривиальное расширение группы Галилея: (272)
Как может заметить читатель, эта группа действует на пятимерном пространстве:
**r **: пространство
t : время
z : дополнительная переменная.
...Вопросы, связанные с дополнительными переменными, будут рассмотрены далее. На этом сайте выше была приведена полная вычислительная процедура сопряжённого действия группы Пуанкаре. Можно было бы также вывести вычисление сопряжённого действия группы Баргмана на её пространстве импульсов. Парадоксальным образом, расчёты в нерелятивистском мире оказываются немного сложнее, чем в релятивистском. Результат следующий: (273)
Физик узнаёт некоторые знакомые объекты, такие как скорость: (274)
и кинетическая энергия: (275)
m v — импульс. Скорость относительно чего? Группа меняет параметры движения, придаёт частице скорость v и кинетическую энергию E. Можно выбрать обратную интерпретацию и рассматривать группу как особую точку зрения на что-либо, на частицу. Если мы рассматриваем группу SO(3), матрицы a, это означает «увиденное под другим углом». Если мы рассматриваем группу O(3), матрицы a, это добавляет возможность наблюдать «вещь» через зеркало.
Вектор переноса (276)
группы Евклида добавляет «увиденное из другого места».
В динамических группах наличие скорости v в группе означает, что наблюдатель движется. Временной сдвиг e = Dt означает, что наблюдатель видит объект спустя некоторое время. Вектор переноса Dr и временной сдвиг Dt можно объединить в вектор пространственно-временного переноса: (277)
Посмотрим на формулы: из группы Баргмана мы видим, что:
m' = m
Какой бы ни была точка зрения, масса остаётся неизменной.
Немного упростим эту «точку зрения», выбрав a = 1.
Сопряжённое действие становится: (278)
...Сопряжённое действие указывает на изменение параметров движения. Если мы считаем, что переходим от стационарного состояния к нестационарному, начальные условия соответствуют:
E = 0 (нулевая энергия)
**p **= 0 (нулевой импульс, нулевая скорость)
«переход» f = 0
Тогда сопряжённое действие даёт: (279)
«Рассматривать» следует понимать в его этимологическом смысле.
Судебный пристав говорит: — Составить опись и инвентаризацию.
...Статическое (v = 0) восприятие вещей соответствует группе Евклида. Судебный пристав наблюдает вещи на расстоянии c. Он наблюдает события в момент их совершения (Dt = 0). Возможно, он смотрит под определённым углом (a отличное от 1).
...Генерал, летящий над полем боя на самолёте, — своего рода судебный пристав, наблюдающий вещи из подвижной точки зрения (с самолёта, летящего со скоростью v). ...Но генерал в своём штабе, смотрящий фильм, снятый беспилотным самолётом, дроном, несколько часов назад, говорит: — Рассматривая цель, такой, какой она была час назад (Dt ≠ 0), видимую из движущейся точки наблюдения (v ≠ 0), с высоты пять тысяч футов (c ≠ 0), летящей со скоростью v и делающей снимок под определённым углом (a отличное от 1).
...Цель не имеет определённой скорости, положения или ориентации, даже если она считается «неподвижным» зданием. Всё относительно. Даже Земля, Солнце, наша галактика движутся в пространстве.
...«Северный полюс» Земли отличается от «северного полюса» Солнца на 23° и меняется со временем (26 000 лет), из-за прецессии равноденствий. Север, указанный Солнцем (его собственная ось вращения), не совпадает с севером, указанным нашей галактикой, Млечным Путём, которая имеет собственное вращение (разница 90°). Даже галактика движется со скоростью триста миль в час. Относительно чего? Относительно других. Вот всё, что мы можем сказать. Группа соответствует двум разным точкам зрения.
...Если я считаю, что объект неподвижен, зафиксирован в пространстве и времени и не имеет вращательного движения, то всё, что я могу сказать:
- Если я отдаляюсь на расстояние c.
- Если я наблюдаю объект, летя со скоростью v.
- Если информация от этого объекта достигает меня с временным запаздыванием Dt.
Относительно меня:
---> Масса объекта не изменяется.
----> Я придаю объекту импульс mv, рассматриваемый как кажущийся.
-----> Объект приобретает «переход» **f **= m [ c - v Dt ]
-----> Он приобретает спин (279b)
Запишем это более явно: (280)
(281)
(282)
или: (283)
Можно рассматривать три независимые компоненты матрицы спина l как компоненты вектора: (283b)
...Хотя векторное произведение не было определено в нашем пространстве, то есть мы не придали пространству ориентации «право-лево», мы можем рассматривать последнее выражение как векторное произведение. (284)
...Перевёрнутое v указывает на векторное произведение. Мы видим, что последняя строка формул, дающих сопряжённое действие, соответствует: (285)
l — матрица, а не вектор. Но, в зависимости от выбранной нотации, жирные буквы обозначают как матрицу, так и вектор.
Этот вектор начинает напоминать что-то знакомое физику: кинетический момент.