a4124
| 24 |
|---|
Специальная группа Галилея.
...Читатель найдет это расширение в книге Суриа: Структура динамических систем, Издательство Birkhäuser 1997 г., и на французском языке, Структура динамических систем, Издательство Dunod 1973 г.
...Группа может быть расширена. Это означает, что количество параметров, от которых она зависит, увеличится. Вычислите количество параметров, от которых зависит группа Галилея. Мы начинаем с матрицы вращения в 3D:
(322)
Это ортогональная матрица:
(323)
Эти матрицы образуют группу SO(3), которая является подгруппой группы O(3), состоящей из всех ортогональных матриц. У нас есть:
(324)
Напомним разницу с:
(325) (325b)
являются наиболее общими ортогональными матрицами, определитель которых подчиняется:
(326)
Конец этой вставки.
Следующая группа квадратных матриц (5,5) будет называться специальной группой Галилея:
(327)
Матрица вращения зависит от трех свободных параметров, углов Эйлера. Таким образом, размерность группы равна десяти.
Используя обозначения:
(328)
мы получаем:
(329)
Связано с вектором пространства-времени:
(330)
так что соответствующее действие специальной группы Галилея:
(331)
...Учитывая специальную группу Галилея, возможно вычислить действие группы на ее пространстве импульсов. Это вычисление не будет дано здесь. Читатель может найти его в моих лекциях по группам, доступных.
Дадим результат:
(332)
Мы распознаем импульс **p **и энергию E. Импульс состоит из:
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Десять скалярных величин. Десять измерений для группы. У нас все еще есть вектор прохождения **f **и антисимметричная матрица спина **l **(состоящая из трех независимых компонент lx , ly , lz , образующих "вектор спина").
Тривиальное расширение специальной группы Галилея.
Следующие матрицы образуют новую группу.
(334)
Она вводит новую компоненту f, скаляр, «фазис» (связан с квантовым миром). Размерность группы становится 10 + 1 = 11
Эта новая группа действует на пятимерном пространстве:
(335)
z - это «дополнительное измерение». Оно было впервые введено польским Калуцей в 1921 году, затем Ж.М. Суриа в 1964 году (Геометрия и относительность, Издательство Hermann, не переведено на английский).
Опять же, можно вычислить соответствующее сопряженное действие группы на ее пространстве импульсов. Мы находим это:
(336)
Импульс становится:
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...У нас есть еще один скаляр m и мы его идентифицируем как массу. Мы видим, что специальная группа Галилея, действующая в пространстве-времени, вносит энергию, но не массу, как компонент импульса. В настоящее время (через тривиальное расширение) наша частица получает дополнительный атрибут, идентифицируемый как масса, очень произвольно, и который не взаимодействует с другими компонентами импульса.
Индекс Теория динамических групп
Оригинальная версия (английский)
a4124
| 24 |
|---|
The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.