a4125
| 25 |
|---|
Нетривиальное расширение специальной группы Галилея.
Группа Баргманна (1960)
Следующие матрицы (см. мои лекции по группам)
(338)
образуют группу, открытую Баргманом в 1960 году. Как и ранее, она действует на пятимерном пространстве. Её размерность равна 11 из-за наличия скаляра f. Это нетривиальное расширение специальной группы Галилея.
(339)
Если вычислить сопряжённое действие группы на её импульсе, получим:
(340)
...Мы видим, что это сопряжённое действие более тонкое, и масса взаимодействует с другими компонентами импульса. Мы уже анализировали это выше и показали, как это придаёт физический смысл компонентам импульса.
...Импульс — это движение данной частицы. Группа Баргманна описывает нерелятивистские движения. Можно рассмотреть частицу в покое, без энергии, без импульса, без спина. Просто ненулевая масса:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Мы используем следующий элемент группы Баргманна:
(341)
Компоненты импульса становятся:
(342)
...В системе координат, связанной с частицей, величина f остаётся нулевой. Мы показали, что матрица спина совпадает с моментом импульса.
...Важно здесь рассмотреть тривиальное расширение специальной группы Галилея (почему «специальная»? Это будет объяснено далее). При таком тривиальном расширении добавляется лишь дополнительный скаляр к импульсу.
Теперь рассмотрим расширение группы Пуанкаре:
Центральное расширение группы Пуанкаре. (343)
«ep» означает «расширенная группа Пуанкаре». Lo — элемент ортохронного подгруппы Lo полной группы Лоренца L. Таким образом, можно рассматривать приведённый выше элемент как ортохронную подгруппу Gepo полной расширенной группы Пуанкаре, элемент которой:
(344)
Обе действуют на пятимерном пространстве:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Можно показать, что это расширение не может содержать ненулевые члены в первой строке вместо 0 = ( 0 0 0), расположенные между 1 и f.
...Как показал Ж.М. Суриа, метод геометрической квантования (метод Костанта-Кириллова-Суриа) позволяет получить уравнение Шрёдингера из группы Баргманна и уравнение Клейна-Гордона из расширенной группы Пуанкаре (Структура динамических систем, Дюно, 1972). Кроме того, это центральное расширение группы добавляет дополнительный скаляр к импульсу (как и тривиальное расширение группы Баргманна):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp представляет классический импульс группы Пуанкаре. Тогда сопряжённое действие импульса упрощается до:
(347)
Вычисление не сложное и аналогично представленному выше. Вычисляем антисопряжённое действие:
(348)
Затем дуальность выражается постоянством следующего скаляра:
(349)
...Таким образом, мы получаем дополнительный скаляр c, который просто сохраняется при сопряжённом действии. До этого момента этот скаляр не имел физической интерпретации. В дальнейшем мы всё это проясним. Очевидно, что группу можно расширять сколько угодно раз:
(350)
Каждый раз добавляется дополнительный скаляр
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } и сопряжённое действие становится:
(352)
Читатель скажет: «Ну и почему бы не добавить 57 новых скаляров?»
Просто добавим шесть и отождествим эти новые скаляры с
(353)
c 1 = q (электрический заряд)
c 2 = cB (барионный заряд)
c 3 = cL (лептонный заряд)
c 4 = cm (мюонный заряд)
c 5 = ct (тау-заряд)
c 6 = v (гиромагнитный коэффициент)
Группа действует на следующем десятимерном пространстве:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
то есть: пространство-время плюс шесть дополнительных измерений.
(355)
Напомним, что эта группа построена на основе ортохронной подгруппы
Lo = Ln (нейтральная компонента) U Ls (соответствует пространственной инверсии)
полной группы Лоренца L.
Импульс становится:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp — часть импульса, соответствующая группе Пуанкаре Gop (ортохронная подгруппа).
Каков физический смысл?
...Импульс принадлежит пространству, которое является n-мерным многообразием. Группа Пуанкаре имеет десять измерений, поэтому импульс группы Пуанкаре состоит из десяти величин.
Затем мы добавляем шесть дополнительных измерений к группе, соответствующих дополнительным фазам:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Импульс становится:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Мы решаем, что среди множества скаляров
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
мы отождествляем энергию E, импульс p, величину f, антисимметричную матрицу спина l.
...E и p могут принимать любые возможные значения, но квантовые аргументы требуют постоянства модуля s вектора спина (в системе координат, связанной с частицей), что здесь не обосновано и соответствует работе Суриа.
У нас есть шесть дополнительных скаляров:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Мы решаем, что среди бесконечного числа возможных выборов некоторые дискретные выборы соответствуют реальным частицам (и античастицам). Тогда в 16-многообразии, соответствующем пространству импульсов, мы выбираем дискретные движения, соответствующие частицам, с определёнными квантовыми числами
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...На данный момент сопряжённое действие группы просто обеспечивает сохранение этих величин вдоль заданных движений. Существуют «пассивные квантовые числа», как и масса появляется как пассивная величина, когда она возникает из тривиального расширения специальной группы Галилея.