| 2 |
3 - Третий аксиома теории групп:
Любой элемент группы должен иметь свой обратный элемент, обозначаемый g⁻¹, определяемый следующим образом:
(15)
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
В нашем примере:
(16)
то есть: b = -a или:
(17)
g⁻¹(a) = g(-a)
Здесь вычисление обратной матрицы тривиально.
Какое условие необходимо, чтобы данная квадратная матрица имела обратную?
...Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие скаляр, называемый определителем. Определение см. в любом учебнике по линейной алгебре. Этот определитель обозначается: det(g)
Кроме того, существует общая теорема:
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
Определитель диагональной матрицы равен:
(18)
Следовательно:
det(1) = 1,
так как 1 является диагональной матрицей.
Из определения обратной матрицы:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Тогда:
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
...Если det(g) = 0, то условие (19) не может быть выполнено. Множества матриц, элементы которых имеют нулевой определитель, не удовлетворяют третьей аксиоме и не могут образовывать группу.
Кстати:
(20)
4 - Четвёртая аксиома теории групп:
Умножение должно быть ассоциативным, то есть:
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
Умножение матриц по своей природе ассоциативно.
Размерность группы:
...Как мы увидим, группа может действовать на пространстве, точки которого описываются столбцовыми векторами. Например, точки пространства-времени (называемые «событиями»):
(22)
...Это четырёхмерное пространство. На нём могут действовать различные группы. Однако размерность группы никак не связана с размерностью пространства, на котором она действует.
Размерность группы (матриц) — это количество параметров, определяющих эти квадратные матрицы.
Мы привели пример матриц, определяемых одним параметром a.
Таким образом, размерность этой группы равна единице.
Заметим, что:
(22-бис)
Замечание:
Не все группы матриц являются коммутативными, хотя изучаемая нами группа обладает этим свойством:
(23)
Если такая группа действует на столбцовый вектор, соответствующий двумерному пространству:
(23 бис)
это соответствует повороту вокруг фиксированной точки в плоскости:
(23 тер)
Эта операция очевидно коммутативна.
Вы можете сказать: «Как и все группы поворотов».
...Вы ошибаетесь. Рассмотрим повороты вокруг осей, проходящих через данную точку O. Совместите два последовательных поворота вокруг разных осей. Это не коммутативная операция. Упражнение: покажите, используя ортогональную систему осей (OX, OY, OZ), что совместные повороты вокруг этих осей не являются коммутативной операцией. Возьмите любой объект.
- Выполните поворот на +90° вокруг OX, затем поворот на +90° вокруг OZ.
Вернитесь к исходным условиям и:
- Выполните поворот на +90° вокруг OZ, затем поворот на +90° вокруг OX.
Сравните результаты.
Действие группы.
...Группа G состоит из квадратных матриц g. Их можно перемножать. Мы скажем, что группа может действовать на себя.
Группа также может действовать на пространстве, состоящем из точек, описываемых столбцовыми векторами. Пример:
(24)
Если записать:
(25)
то действие группы на это пространство принимает вид:
(26)
g × r
...В данном частном случае действие на пространстве сводится к простому умножению матриц. Но понятие действия гораздо более общее.
