| 14 |
Проект.
...Нашей отправной точкой будет динамическая группа G, то есть семейство квадратных матриц g.
...Динамическая: потому что в неё вовлечено время.
...Эта группа имеет определённую размерность n. Она может действовать в пространстве X, которое имеет свою собственную размерность (не связанную с размерностью группы; последняя представляет собой число независимых параметров, определяющих каждую матрицу g множества, образующего группу G).
...Теперь нам нужно действие, чтобы определить пространство, в котором действует группа, — её импульсное пространство. Это пространство не является пространством-временем, в котором, как предполагается, движутся частицы. Построение такого пространства приведёт нас в странную страну, напоминающую некое шизофреническое царство. Но если вы пойдёте этим путём, вы окажетесь ближе к физической реальности, чем когда-либо прежде.
...Когда у нас будет пространство для работы и действие, осуществляемое в нём, мы классифицируем импульсы-движения по видам и отождествим эти виды с элементарными частицами.
...Выше мы говорили, что произведение группы на вектор, соответствующее SO(2) и O(2), а также SO(3) и O(3), соответствовало действию:
g x r
то есть:
(166b)
Заметим, что это можно записать эквивалентным образом:
(167)
Для ориентированной группы Евклида и полной группы Евклида нам нужно записать действие:
(168)
Но эти действия, а также соответствующие действия динамических групп на пространстве, такие как:
(169)
не дают... ничего. Они просто переносят объекты в пространстве, пространстве-времени или в более утончённых пространствах (5-мерном пространстве, 10-мерном пространстве).
Нам нужно искать нечто «скрытое под группой»: её импульсное пространство (которое есть у всех матричных групп) и её
коприсоединённое действие на импульсном пространстве.
Это соответствует реальной физике.
Что такое физика?
...Хороший вопрос. Французский математик Жан-Мари Сурио ввёл понятие коприсоединённого действия группы на её импульсное пространство и показал это в начале семидесятых годов. Ниже это будет развито.
...Конечно, физик в конце вычислений спросит:
Почему?
...Другими словами, это работает, но можем ли мы придать физический смысл этому понятию коприсоединённого действия динамической группы на её импульсном пространстве? Ответ, по-видимому, нет.
...Представьте, что вы ученик Аристотеля. Внезапно у вас возникает интуиция, и вы изобретаете новое слово, чтобы назвать её:
инерция.
...Приходит Аристотель. Другие ученики предупредили его, что вы изобрели нечто новое, и он спрашивает:
- Не могли бы вы объяснить нам, что означает инерция?
Вы не сможете сделать это, используя слова Аристотеля. Вы столкнулись с парадигмальным сдвигом.
Перенесёмся в Средневековье. Попробуйте объяснить химическую реакцию в терминах словаря четырёх стихий. Тоже невозможно...
Коприсоединённое действие группы на её импульсном пространстве — это парадигмальный сдвиг. Это новый взгляд на физику.
В действительности, физики постоянно имеют дело с действиями групп, когда говорят об «инвариантности», «законах сохранения».
Такой обычный физик спросит:
- Можете ли вы объяснить мне, в чём смысл коприсоединённого действия группы на её импульсном пространстве, простыми словами, если возможно?
Мы отвечаем:
-
Почему вы используете законы сохранения в физике?
-
Ах... потому что существуют сохраняющиеся величины: энергия, масса, электрический заряд...
-
Почему они сохраняются?
-
Но это же базовый принцип! ....
-
Мой дорогой друг, рассмотрите коприсоединённое действие группы на её импульсном пространстве как базовый принцип.
-
Что вы имеете в виду?
-
Любая физика основана на групповой структуре. Если вы идентифицируете группу, вы можете построить её коприсоединённое действие и соответствующее импульсное пространство. Тогда компоненты импульса будут соответствующими физическими величинами.
-
........
Предупреждение. Если вы физик (даже теоретик...) и если вы прочтёте то, что следует ниже, вы подвергнетесь парадигмальной мутации. После этого физика станет просто... другой.
Действия.
Что такое действие?
Нечто, связанное с группой, которое подчиняется следующим аксиомам:
(170)
Конечно, для матричных групп операцией композиции является:
x
(матричное умножение строки на столбец)
Для матричных групп мы можем записать:
(171)
Рассмотрим вектор-столбец:
(172)
где x, например, представляет векторы
(173)
Удовлетворяет ли
(174)
аксиомам действия? Пусть g и g' — два элемента группы G.
(175)
(175b)
Мы должны иметь:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
то есть:
(177)
в силу свойства ассоциативности:
(178)
g" = g x g'
является действием группы.
...Заметим, что мы поместили элемент g группы G слева. Что произойдёт, если мы поместим его справа? Тогда он должен быть скомбинирован с матрицей-строкой y.
(179)
Ag(y) = y x g
Является ли это действием?
