| 15 |
Нам нужно:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Но:
Произведение двух матриц
в общем случае некоммутативно. В заключение:
(181)
Ag(y)
= y x g
не является действием группы
: оно не удовлетворяет вышеуказанным аксиомам. Но оно удовлетворяет другой, соответствующей
«антидействию».
(182)
Для матриц:
(183
Мы всё ещё ищем
действия и антидействия. Из вектора x мы можем построить транспонированный
и попробовать:
(184)
является ли это действием
? Давайте продолжим.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Здесь мы используем теорему линейного исчисления:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
где M и N
— произвольные (n,n) матрицы. Отсюда:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
и:
(189)
что является действием группы. Рассмотрим
теперь:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Покажем, что это действие.
Рассмотрим три следующие матрицы.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Нам нужно:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Образуем первый член:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
или:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
то есть:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Это действие группы.
Мы назовём его, вслед за Сурьо:
Присоединённое действие
:
(193)
Теперь мы рассмотрим антидействие группы на матрицу m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Покажем, что оно удовлетворяет:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Образуем первый член:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
или:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
то есть:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
или:
(199)
g" -1
x
m x
g"
