| 16 |
Нам нужно:
Дуальные действия.
Выше мы построили
действие:
(200)
анти-действие:
(201)
Первое может относиться
к любому вектору-столбцу m:
(202)
m' = g xm
а второе — к любому
вектору-строке n:
(203)
n' = n
x g-1
m принадлежит
некоторому пространству M
n принадлежит другому
пространству N.
Образуем скаляр:
(204)
S = n m
Заметим, что:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Мы
скажем, что два рассматриваемых действия дуальны. Аналогично два пространства
M и N, которым принадлежат m и n, являются дуальными пространствами:
N = M* или M = N*
Обычно мы говорим, что
если m — вектор, то n — его ковектор.
Приставка ко типична
для дуальности. Как заметил Сурио, дуальность существует и в политике,
и он добавляет:
- Дуальность присутствовала
в марксизме-ленинизме с самого начала. Подумайте о муннисте и
коммунисте.
Возьмём другую точку зрения. Предположим, у нас есть одно действие, и мы хотим построить
его дуальное.
Схематически:
(206)
...Чтобы
образовать скалярное произведение с вектором-столбцом m, n
должен быть вектором-строкой. Тогда эти два вектора должны определяться одним и тем же
числом скаляров:
(207)
затем мы ищем дуальное
действие:
(208)
n' = Ag(n)
так, чтобы скалярное произведение
:
(209)
было инвариантным. Мы
должны иметь:
(210)
n' m'
= n m
У нас есть:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
решением которого
является:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
К построению
существенного действия, или кооприсоединённого действия группы на её импульс (по
Сурио).
Мы ищем действие группы на её «пространстве импульсов». Мы собираемся построить его как дуальное к
анти-действию:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...В
предыдущем разделе m был вектором. Но в (214) это матрица.
Мы возьмём матрицу, которая зависит от определённого числа параметров:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Мы должны вообразить дуальный
набор скаляров:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
так, чтобы:
(215)
Схематически:
(216)
