| 17 |
Выбор матрицы
m .
...Группу G можно сопоставить некоторой поверхности. Она зависит от определённого числа
параметров. Пусть P — это пространство параметров группы, а
p — точка этого пространства. Число этих параметров pi
есть размерность группы.
(217)
Показано: нейтральный элемент e ( единичная матрица 1 ).
Мы можем задать
приращение d p
:
(218)
...Затем
мы дифференцируем матрицу g, которая является элементом группы. Мы
получаем квадратную матрицу dg, которая
не принадлежит группе. Её называют «касательным вектором к группе». Эти
касательные векторы образуют то, что называют «алгеброй Ли» группы ( которая,
кстати, не является алгеброй ).
Мы выбрали дифференцирование
в окрестности нейтрального элемента :
(219)
и мы выбираем следующее
антидействие :
(220)
AAg(m)
= g-1 x
dg(g=e) x
g
Замечание :
Почему мы выбираем касательный вектор к группе в g = 1 ?
...Мы
могли бы использовать более общий касательный вектор dg в любой точке группы. Мы получили бы тот же результат, но вычисление
было бы гораздо более утомительным.
Размерность группы
равна n. Матрица g зависит от n параметров{ pi
}..
Элемент алгебры Ли
dg(g=e) зависит от того же
числа параметров {d pi
}.
Вычисление
вышеуказанного антидействия даст отображение :
(221)
{ d
pi
} -----> { d pp'i
}
Мы вводим то же
число скаляров :
{ J i }
Мы называем это множество
импульсом J группы.
J = { J i
}
Это множество из n величин,
n скаляров. Иногда мы можем поместить его в матрицу ( действие Пуанкаре
на его импульс ).
{ J i } —
это ковектор { d p
i } к касательному вектору группы. Двойственность даёт :
(222)
Из этого сохранения скалярного произведения, если мы знаем отображение :
(223)
{ d
p
i } -----> { d p'
i }
мы можем построить двойственное
отображение :
(224)
{ J i } ----->
{ J 'i }
Это и есть искомое
существенное действие, и Сурьо называет его коприсоединённым действием группы на её
пространство импульсов.
Лучший способ проиллюстрировать
это понятие — привести пример :
Коприсоединённое действие
группы Пуанкаре на её пространство импульсов Jp .
Выше мы представили
обобщённую группу Лоренца. Выбирая :
(225)
мы получаем группу Лоренца
L, элемент L которой подчиняется аксиоматическому определению :
(226)
Пространственно-временной вектор есть
(227)
При c = 1 мы получаем
элементарную квадратичную форму, метрику Минковского :
(228)
Обратная матрица есть
(229)
Введём теперь пространственно-временной
сдвиг :
(230)
мы строим элемент
gp группы Пуанкаре Gp следующим
образом :
(231)
Упражнение : покажите, что это образует группу, и вычислите обратную матрицу :
(232)
Элемент алгебры
Ли есть
(233)
а антидействие :
(234)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
Мы замечаем, что
(235)
G d
L
является антисимметричной
матрицей. Назовём её :
(236)
откуда :
(237)
Пусть :
(238)
из этого мы можем построить антидействие :
(239)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
которое даст нам
отображение :
(240)
(240b)
(240c)
есть искомое отображение
:
(241)
