| 18 |
...Элемент gp группы Пуанкаре Gp определяется набором параметров {pi}, число которых по определению является размерностью группы. Матрица dg (g=e) строится из набора {dpi}. Таким образом, предыдущее отображение соответствует контрдействию:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Для введения двойственности и построения двойственного отображения предположим постоянство скаляра:
(243)
Размерность группы Пуанкаре равна 10, откуда мы имеем десять скаляров { Ji
}, являющихся компонентами импульса Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
Мы решаем разбить его на два объекта:
(244)
Jp= { M , P }
Первый, M ,
является антисимметричной матрицей (4,4).
P — четырёхвектор
(4,1)
(245)
Тогда:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Запишем скалярное произведение как:
(247)
Tr означает след. Постоянство скалярного произведения даёт
(248)
при условии:
(249)
(249b)
(249c)
но GG = 1
. Тогда:
(250)
(250b)
(251)
то есть:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Это сопряжённое действие можно записать в матричной форме:
Элемент группы
Пуанкаре имеет вид:
(254)
Его транспонированная матрица:
(255)
Рассмотрим матрицу:
(256)
запишем:
(257)
(258)
(259)
которая будет отождествлена
с матрицей:
(260)
Тогда Jp
является импульсом группы Пуанкаре, представленным в матричной форме, а сопряжённое действие имеет вид:
(261)
Упражнение: проверьте,
что это действительно действие.
Матрица импульса
соответствует:
(262)
Диагональ антисимметричной
матрицы M состоит из нулей.
(263)
Она зависит от шести параметров.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Запишем матрицу
:
(265)
Последние три компоненты
( fx , fy , fz) образуют то, что Сурьо называет
вектором переноса f :
(266)
Первые три ( lx
, ly , lz) являются независимыми компонентами антисимметричной
матрицы (3,3), которую Сурьо называет матрицей спина.
(267)
откуда:
(268)
Вектор P —
это четырёхвектор импульса-энергии :
(269)
Тогда импульс
группы Пуанкаре можно выписать в наиболее общем виде:
(270)
Он имеет десять компонент
:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
