| 19 |
Частицы со спином.
...Группа
Пуанкаре описывает релятивистское движение точечного
объекта. Аналогично группа Баргмана описывает нерелятивистское движение.
Компоненты момента возникают как чисто геометрические величины. Это геометризация
физики.
Физикам
хорошо знакомы энергия E и вектор импульса p. Но
их могут несколько озадачить два других объекта: «прохождение» f
и вектор спина l. Форма
компонент момента зависит от выбора координат.
...Каждая
динамическая группа обладает своим пространством моментов и коприсоединённым действием на этом пространстве
моментов. Если бы вместо того, чтобы сначала выбрать релятивистский мир (группу
Пуанкаре), мы выбрали нерелятивистский мир, нам пришлось бы обратиться к
группе Баргмана. Подробности вычислений см. в моих лекциях о группах.
Группа Баргмана
является нетривиальным расширением группы Галилея:
(272)
Как видит читатель,
эта группа действует на пятимерном пространстве:
r : пространство
t : время
z : дополнительная переменная.
...Эти
вопросы дополнительной переменной или дополнительных переменных будут рассмотрены далее.
На этом сайте полный расчёт коприсоединённого действия группы Пуанкаре
приведён выше. Можно было бы также вывести расчёт коприсоединённого
действия группы Баргмана на её момент. Парадоксально, но расчёт
в нерелятивистском мире несколько сложнее, чем в релятивистском
мире.
Результат следующий:
(273)
Физик опознаёт
некоторые знакомые объекты, такие как скорость:
(274)
и кинетическая энергия:
(275)
m v — это импульс.
Скорость
относительно чего?
Группа изменяет
параметры движения, придаёт частице скорость v и
кинетическую энергию E.
Мы можем выбрать
противоположную интерпретацию и считать, что группа — это своеобразная точка
зрения на нечто, на частицу.
Если мы рассматриваем
группу SO(3), матрицы a, это означает «увиденное под другим углом
зрения».
Если мы рассматриваем
группу O(3), матрицы a, она добавляет возможность наблюдать
«вещь» через зеркало.
Вектор трансляции
(276)
группы Евклида
добавляет «увиденное из другого места».
В динамических группах
присутствие скорости v в группе означает, что наблюдатель движется.
Сдвиг во времени
e = Dt означает, что наблюдатель видит вещь спустя
некоторую задержку.
Вектор трансляции
Dr и задержка во времени Dt
могут быть объединены в вектор пространственно-временной трансляции:
(277)
Посмотрим на формулы,
из группы Баргмана мы видим, что:
m' = m
Какой бы ни была точка зрения, масса неизменна.
Упростим немного эту
«точку зрения», выбрав a = 1.
Коприсоединённое действие
становится:
(278)
...Коприсоединённое
действие указывает на изменение параметров движения. Если мы
считаем, что переходим от стационарной ситуации к нестационарной, начальные
условия соответствуют:
E = 0 (нулевая энергия)
p = 0 (нулевой импульс,
нулевая скорость)
«прохождение» f =
0
Тогда коприсоединённое действие даёт:
(279)
«Рассматривать» нужно
читать в его этимологическом значении.
Судебный исполнитель говорит:
- Составление протокола вместе с описью.
...Статическое (v = 0) видение вещей соответствует группе Евклида.
Судебный исполнитель наблюдает вещи на расстоянии c. Он наблюдает факты
в момент, когда они происходят (Dt = 0). В конечном счёте он смотрит под определённым углом
(a, отличным от 1).
...Генерал,
облетающий поле боя на самолёте, — это своего рода судебный
исполнитель, который наблюдает вещи с движущейся точки зрения (с самолёта, летящего
со скоростью v).
...Но
генерал в своём штабе, смотрящий фильм, снятый беспилотным самолётом,
дроном, несколько часов назад, говорит:
- Рассматривая цель такой, какой она была час назад (ненулевое Dt), с движущейся
точки наблюдения (ненулевое v), с высоты пяти
тысяч футов (ненулевое c), летя со скоростью v и
снимая под определённым углом (a, отличным от 1).
...У
цели нет определённой скорости, или положения, или ориентации, даже если
предполагается, что это «неподвижное» здание. Всё относительно. Даже Земля,
Солнце, наша галактика движутся в пространстве.
...«Северный
полюс» Земли отличается от «северного полюса Солнца» на
23° и меняется во времени (26 000 лет) из-за прецессии равноденствий.
Север, указываемый Солнцем (его собственной осью вращения), — не тот север,
который указывает наша галактика, Млечный Путь, имеющий собственное вращательное
движение (разрыв в 90°). Даже галактика движется со скоростью триста миль в час.
Относительно чего? Относительно других. Это всё, что мы можем сказать.
Группа соответствует двум различным точкам зрения.
...Если
я считаю, что объект неподвижен, закреплён в пространстве и времени и не обладает
вращательным движением, всё, что я могу сказать, это:
- Если я удаляюсь на расстояние c.
- Если я наблюдаю вещь, летя со скоростью v.
- Если информация, идущая от этой вещи, доходит до меня с задержкой во времени Dt.
Относительно меня:
---> Масса объекта не изменяется.
----> Я придаю объекту импульс mv, считаемый кажущимся.
-----> Объект получает «прохождение» f = m [ c - v Dt ]
----> Он получает спин
(279b)
Запишем это более явно:
(280)
(281)
(282)
или:
(283)
Можно рассматривать три независимые компоненты матрицы спина l
как компоненты вектора:
(283b)
...Хотя
векторное произведение не было определено в нашем пространстве, то есть: мы не
придали пространству право-левую ориентацию, мы можем рассматривать последнее выражение как
векторное произведение.
(284)
...Перевёрнутая v обозначает векторное произведение. Мы видим, что последняя строка
формул, дающих коприсоединённое действие, соответствует:
(285)
l — это матрица,
а не вектор. Но, согласно выбранному обозначению, жирные буквы обозначают
безразлично матрицу или вектор.
Этот вектор начинает
походить на нечто знакомое физику: кинетический момент.
