| 24 |
Специальная группа Галилея.
...Читатель найдет это расширение в книге Сурио: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997, а на французском — Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Группу можно расширить. Это означает, что число параметров, от которых она зависит, увеличится. Вычислите число параметров, от которых зависит группа Галилея. Мы исходим из матрицы поворота в 3D:
(322)
Это ортогональная матрица:
(323)
эти матрицы образуют группы SO(3), которая является подгруппой группы O(3), составленной из всех ортогональных матриц. Имеем:
(324)
Напомним различие с:
(325)
(325b)
являются наиболее общими ортогональными матрицами, определители которых подчиняются:
(326)
Конец этого отступления.
Следующая группа квадратных матриц (5,5) будет называться специальной группой Галилея:
(327)
Матрица поворота зависит от трех свободных параметров — углов Эйлера. Так что размерность группы равна десяти.
Используя обозначения:
(328)
получаем:
(329)
В связи с вектором пространства-времени:
(330)
так что соответствующее действие специальной группы Галилея есть:
(331)
...Имея специальную группу Галилея, можно вычислить действие группы на ее пространстве импульсов. Вычисление здесь не приводится. Читатель может найти его в моих лекциях по группам, которые доступны.
Приведем результат:
(332)
Мы узнаем импульс p и энергию E. Импульс составляется из:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Десять скалярных величин. Десять измерений для группы. У нас по-прежнему есть вектор перехода f и антисимметричная матрица спина l (составленная из трех независимых компонент lx , ly , lz , образующих «вектор спина»).
Тривиальное расширение специальной группы Галилея.
Следующие матрицы образуют новую группу.
(334)
Она вводит новую компоненту f — скаляр, «фазу» (связанную с квантовым миром). Размерность группы становится
10 + 1 = 11
Эта новая группа действует на пятимерном пространстве:
(335)
z — это «дополнительное измерение». Впервые оно было введено поляком Калуцей в 1921 году, затем Ж. М. Сурио в 1964 году (Géométrie et relativité, Hermann Editeur, на английский не переведено).
Здесь снова можно вычислить соответствующее коприсоединенное действие группы на ее пространстве импульсов. Мы находим это:
(336)
Импульс становится:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...У нас есть еще один скаляр m, и мы отождествляем его с массой. Мы видим, что специальная группа Галилея, действуя на пространство-время, привносит энергию, но не массу, как компоненту импульса. В настоящее время (посредством тривиального расширения) наша частица получает дополнительный атрибут, который отождествляется с массой весьма произвольно и который не взаимодействует с другими компонентами импульса.
