| 25 |
Нетривиальное расширение специальной группы Галилея.
Группа Баргмана (1960)
Следующие матрицы
(см. мои лекции по группам)
(338)
образуют группу, открытую Баргманом в 1960 году. Здесь она снова действует на пятимерном пространстве. Её размерность равна 11, из-за присутствия скаляра f. Это нетривиальное расширение специальной группы Галилея.
(339)
Если вычислить коадъюнктное действие группы на её момент, получаем:
(340)
...Мы видим, что это коадъюнктное действие более утончённое и что масса взаимодействует с другими компонентами момента. Мы проанализировали это выше и показали, как это придаёт физический смысл компонентам момента.
...Момент — это движение данной частицы. Группа Баргмана описывает нерелятивистские движения. Мы можем рассмотреть частицу в покое, без энергии, без импульса, без спина. Просто с ненулевой массой:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Мы используем следующий элемент группы Баргмана:
(341)
Компоненты момента становятся:
(342)
...В системе координат, связанной с частицей, проход f по-прежнему равен нулю. Мы показали, что матрица спина отождествляется с кинетическим моментом.
...Здесь важно то, что нужно смотреть на тривиальное расширение специальной группы Галилея (почему «специальной»? Это будет объяснено далее). Когда выполняется это тривиальное расширение, оно просто привносит дополнительный скаляр в момент.
Расширим группу Пуанкаре:
Центральное расширение группы Пуанкаре.
(343)
«ep» означает «расширенная группа Пуанкаре». Lo — элемент ортохронной подгруппы Lo полной группы Лоренца L. Так что мы можем рассматривать вышеуказанный элемент как ортохронную подгруппу Gepo полной расширенной группы Пуанкаре, элемент которой:
(344)
Оба действуют на пятимерном пространстве:
(345)
( t , x , y , z , z ).
Можно показать, что это расширение не может иметь ненулевых членов в первой строке, вместо 0 = ( 0 0 0), между 1 и f.
...Как показал Ж.М.Сурио, метод геометрического квантования (метод Костанта–Кириллова–Сурио) выводит уравнение Шрёдингера из группы Баргмана и уравнение Клейна–Гордона из расширенной группы Пуанкаре (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Кроме того, это центральное расширение группы добавляет лишний скаляр к моменту (как и в тривиальном расширении группы Баргмана):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp представляет классический момент Пуанкаре. Тогда коадъюнктное действие момента просто становится:
(347)
Вычисление не сложное и аналогично представленному выше. Вычисляют антидействие:
(348)
Тогда двойственность выражается через постоянство следующего скаляра:
(349)
...Так что мы получаем дополнительный скаляр c, который просто сохраняется при коадъюнктном действии. Поскольку до сих пор этот скаляр не получил физической интерпретации. Мы собираемся прояснить всё это в дальнейшем. Очевидно, мы можем расширять группу столько раз, сколько захотим:
(350)
Каждый раз это добавляет дополнительный скаляр
(351)
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
и коадъюнктное действие становится:
(352)
Читатель скажет: «ну, почему бы нам не добавить 57 новых скаляров?»
Просто добавим шесть и отождествим эти новые скаляры с
(353)
c 1 = q (электрический заряд)
c 2 = cB (барионный заряд)
c 3 = cL (лептонный заряд)
c 4 = cm (мюонный заряд)
c 5 = ct (тауонный заряд)
c 6 = v (гиромагнитный коэффициент)
Группа действует на следующем десятимерном пространстве:
(354)
( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z3 , z 4 , z 5 , z6 )
то есть: пространство-время плюс шесть дополнительных измерений.
(355)
Напомним, что эта группа строится с помощью ортохронной подгруппы
Lo = Ln(нейтральная компонента) U Ls (осуществляющая пространственную инверсию)
полной группы Лоренца L.
Момент становится:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp — часть момента, соответствующая группе Пуанкаре Gop (ортохронная подгруппа).
Каков физический смысл?
...Момент принадлежит пространству, которое является n-многообразием. Группа Пуанкаре имеет десять измерений, так что момент группы Пуанкаре состоит из десяти величин.
Затем мы добавляем шесть дополнительных измерений к группе, соответствующих дополнительным фазам:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Момент становится:
(358)
Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Мы решаем, что среди набора скаляров
(359)
Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
мы отождествляем энергию E, импульс p, проход f , антисимметричную матрицу спина l .
...E и p могут принимать все возможные значения, но квантовые аргументы налагают постоянство модуля s вектора спина (в системе координат, связанной с частицей), что здесь не обосновано и соответствует работе Сурио.
У нас есть ещё шесть скаляров:
(360)
J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Мы решаем, что среди бесконечности возможных выборов некоторые дискретные выборы соответствуют реальным частицам (и античастицам). Тогда в 16-многообразии, соответствующем пространству моментов, мы выбираем дискретные движения, соответствующие частицам, с определёнными квантовыми числами
(361)
{ q , cB , cL , cm , ct , v }
...На данный момент коадъюнктное действие группы просто обеспечивает сохранение этих величин вдоль заданных движений. Это «пассивные квантовые числа», так же как масса выступала пассивной величиной, возникая из тривиального расширения специальной группы Галилея.
