группы и физика сопряжённое действие импульса
| 1 |
|---|
...Всё, что будет далее в этой области, будет вращаться вокруг групп. Можно ли дать упрощённое представление этой части, не превращая это в полный курс по группам? Кроме того, какова связь между группами и частицами? Для новичка всё это кажется очень загадочным.
...Прежде всего, что такое группа? В дальнейшем мы будем иметь дело с простой семейством квадратных матриц размера (n,n). Операция, позволяющая им действовать друг на друга, — это матричное умножение (строка-столбец).
Все эти семейства матриц всегда будут содержать нейтральный элемент вида:
...Очевидно, что группа подчиняется аксиомам, установленным Софусом Ли. Аксиомы групп более общие, чем аксиомы матриц, но для нас существуют только группы квадратных матриц, связанных с операцией композиции, которая является классическим умножением строка-столбец, обозначаемым как x.
1 - Первая аксиома групп. Существует операция композиции, позволяющая составлять два элемента из множества, и эта закон композиции, относительно данного множества, является внутренней, то есть в случае матричного умножения:
Пусть g1 и g2 — элементы множества квадратных матриц G. Их композиция даёт квадратную матрицу:
g3 = g1 x g2
Тогда необходимо, чтобы матрица принадлежала множеству G, была того же типа, то есть:
...Вы скажете: "Квадратные матрицы размера (2,2) — две строки, две колонки, или (5,5) — пять строк, пять колонок — удовлетворяют этому критерию, поскольку g3 = g1 x g2 — матрица того же размера".
Но это множество слишком велико, слишком неопределённо. Вы ничего с ним не сможете сделать, и, во всяком случае, не сможете применить в физике. Более того, оно, как правило, не удовлетворяет следующим аксиомам. См. далее.
Приведём простой пример множества матриц, зависящего от одного параметра a, которое образует группу:
Составим две матрицы такого вида:
или:
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b)
Матрица произведения может быть записана как:
Она действительно того же типа, что и g1 и g2. То есть:
Противопример. Рассмотрим другое семейство матриц, зависящих от одного параметра a:
Составим две матрицы такого вида:
Полученная матрица не имеет вида (5). Как сказал бы Магритт: "Это не группа". Достаточно было изменить один знак.
2 - Вторая аксиома групп:
Должен существовать нейтральный элемент, обозначаемый e, такой, что:
g "составлено" e = e "составлено" g = g
...В случае квадратных матриц нейтральным элементом всегда является единичная матрица, обозначаемая 1, с жирным шрифтом: отныне все наши матрицы и, как правило, всё, что не является скаляром, будут обозначаться жирным шрифтом, а обычный шрифт оставим для скаляров. Это можно записать в виде:
g x 1 = 1 x g = g
В нашем примере:
Обратите внимание, что: