группы и физика сопряжённое действие импульса
| 2 |
|---|
3 - Третий аксиома групп: каждый элемент должен иметь обратный, обозначаемый g⁻¹, определяемый как:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
В нашем примере это записывается как:
то есть b = -a или:
g⁻¹ (a) = g (-a)
...Здесь вычисление обратной матрицы было очевидным. Однако это не всегда так, далеко не всегда. Что необходимо, чтобы каждая матрица из рассматриваемого множества имела обратную, то есть была обратимой? Необходимо и достаточно, чтобы её определитель был ненулевым (мы отсылаем читателя к курсу линейной алгебры). Теорема утверждает, что определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц. Само определение определителя делает так, что определитель диагональной матрицы равен произведению её элементов. Например:
Следствия: определитель всех единичных матриц 1 равен 1. Следовательно:
det ( g ) × det ( g⁻¹ ) = 1 ≠ 0
следствие: матрица с нулевым определителем не может иметь обратной, что противоречило бы её определению. Кроме того:
4 - Четвёртая аксиома групп: операция композиции должна быть ассоциативной:
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Это всегда выполняется...
Размерность группы:
...Небольшое отступление о размерности группы (матричной), которая не имеет ничего общего с рангом матриц, её составляющих, или с количеством величин, образующих "пространство, на котором действует эта группа" (например, двумерное пространство (x,y) или четырёхмерное пространство-время (x,y)).
...У нас здесь пример семейства квадратных матриц с одним параметром a, которое оказывается группой. Далее мы найдём группы, состоящие из квадратных матриц, определяемых n параметрами: шестью, десятью, шестнадцатью, любым количеством.
Количество параметров, используемых для определения квадратных матриц группы, будет называться размерностью группы.
*
У нас здесь группа, состоящая из семейства матриц с одним параметром a. Размерность этой группы равна 1.
Отметим в проходе:
Замечание:
...Группы, и особенно те группы, которые нас интересуют, не являются автоматически коммутативными. Это даже исключение. Оказывается, что наша примерная группа коммутативна:
...Вы узнали в этой группе матрицы поворотов в 2D вокруг неподвижной оси. В "реальной жизни" эта операция "очевидно коммутативна". Повернуть вокруг оси:
- Сначала на угол a, затем на угол b
или:
- Сначала на угол b, затем на угол a
приведёт к одному и тому же результату.
Вы скажете: "нормально. Группы поворотов в основном коммутативны".
...Нет. Это свойство только двумерного случая. В трёхмерном случае это уже не работает. Рассмотрим особую группу, состоящую из всех поворотов вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей (OX, OY, OZ).
Упражнение: вы покажете, взяв объект и выполнив:
-
Сначала поворот на +90° вокруг OX
-
Затем поворот на +90° вокруг OZ
а затем те же повороты, но в обратном порядке, что вы не получите один и тот же результат. Эта операция не коммутативна.
Действие группы.
...Группа G состоит из множества квадратных матриц. Можно уже считать, что она действует на самой себе (см. ниже аксиомы, определяющие действие группы, ключевой концепции).
...Наша примерная группа также может действовать на точки "двумерного пространства". Мы скажем, что она их поворачивает. Группа — это для перемещения, но что именно перемещать?
...Вот именно, это не так важно. Цитируя свой труд "Грамматика природы", мы скажем вместе с Ж.М.Суриа:
Способ перемещения важнее того, что перемещается.
В случае нашей примерной группы матрицы действуют на двумерное пространство (x,y), и соответствующее действие можно записать как:
Если положить (столбец-матрицу):
то действие записывается просто как:
g × r
...В этом частном случае действие нашей группы на пространстве (x,y) отождествляется с матричным умножением. Но мы хотим показать, что это лишь особый случай, и что понятие действия, фундаментальное в физике, гораздо более общее.