группы и физика сопряжённое действие импульса
| 3 |
|---|
Группа трансляций:
...Рассмотрим двумерное пространство (x,y). В этом пространстве трансляция соответствует паре скаляров (Dx, Dy), и обычно записывается как
x' = x + Dx y' = y + Dy
Здесь используется сложение. Можно ли обойтись без сложения и закодировать трансляцию с помощью... умножения?
Рассмотрим матрицы:
и действие группы:
Заметим, что здесь уже не просто матричное умножение
g x r
а действие группы:
Можно одновременно рассмотреть трансляции в трёх, четырёх и более измерениях:
Соответствующее действие группы будет:
...Кстати, группа трансляций коммутативна, а нейтральный элемент — это "нулевая трансляция". В 3D размерность группы равна трём, в 4D — четырём.
Преимущества матричных групп. Пример: группа Евклида.
...Преимущество матричной группы в том, что можно одновременно обрабатывать несколько разных вещей, которые ранее казались совершенно разными, например, вращение и трансляцию. Достаточно рассмотреть матрицы:
и применить элементарную матрицу группы к столбцовому вектору, чтобы увидеть, что это эквивалентно одновременному вращению на угол a и трансляции по вектору (Dx, Dy).
...Как видно, матрица g не действует "непосредственно" на точки (x,y) этого двумерного пространства, а через так называемое "действие группы", подчиняющееся определённым аксиомам.
...Таким образом, группа "действует" и "переносит", в данном случае — точки. Это и есть группа Евклида. Связанная с двумерным пространством (x,y), она определяется тремя параметрами. Это g (a, Dx, Dy): размерность этой группы — 3. В частности:
g (0, Dx, Dy) представляет подгруппу трансляций.
g (a, 0, 0) представляет подгруппу вращений вокруг начала координат.
g (0, Dx, 0) — подгруппу трансляций вдоль прямой (оси OX).
...Группа Евклида переносит точки, которые сами по себе не имеют никаких характеристик (в отличие от групп динамики, которые придают простому "материальному точке" характеристики, такие как масса, энергия, импульс, спин).
...С группой Евклида мы вынуждены рассматривать множества точек. Как если бы в химии атомы были неразличимы друг с другом, и лишь геометрия молекулярных агрегатов несли информацию.
...Геометрическая фигура, треугольник (рассматриваемый как множество трёх точек или трёх отрезков), квадрат (рассматриваемый как множество четырёх точек или четырёх отрезков) могут быть перенесены группой. Здесь возникает фундаментальное понятие вида. Два "объекта" считаются одного вида, если существует элемент группы, который позволяет совместить один с другим.
В отношении группы Евклида квадраты с одинаковой стороной a образуют один вид:
Квадраты одного вида.
...Если стороны a и b различны, эти объекты не одного вида. Не существует элемента группы, который позволил бы перейти от одного к другому. В отношении группы Евклида
эти квадраты не образуют одного вида.
Группа Евклида не допускает гомотетий. Чтобы учесть гомотетии, нужно перейти к другой группе — группе Декарта:
группа с четырьмя параметрами g (l, a, Dx, Dy), где l — коэффициент гомотетии. Таким образом, размерность этой группы — 4.
Отсюда можно понять, что существует группа Евклида, действующая на объекты в трёх измерениях.
...Не нужно углубляться в полный курс теории групп, но важно почувствовать некоторые идеи. Что такое зоология? Наука, изучающая животных и классифицирующая их. Если ограничиться формой, группа Евклида позволяет классифицировать взрослых кроликов. Чтобы объединить в один вид кроликов разного размера, нужно использовать группу Декарта, поскольку не существует элемента группы Евклида (в 3D), позволяющего перейти от маленького кролика к большому.
...Вы улыбаетесь? Вы ошибаетесь. Возможно, у вас дома или в квартире есть малыш, который учится чему-то, играя в уголке. Вы дали ему классический игрушечный набор, в котором нужно вставить в соответствующие отверстия цилиндры, кубы или призмы с треугольным основанием.
...Что он делает? Он привыкает к группе Евклида в 3D. Он классифицирует объекты по видам, что в будущем позволит ему распознавать их, делать "распознавание формы".
...Хотя цилиндры A и B разного цвета, малыш проверяет, что существуют действия группы (перемещения этих объектов в 3D пространстве), которые позволяют совместить цилиндр A с цилиндром B, используя выемку в форме цилиндра или призмы — вход в отсек сортировки. Он узнаёт, что цилиндры A и B, по критерию формы (группа Евклида), принадлежат одному виду.
