группы и физика, сопряжённое действие, импульс
| 5 |
|---|
Квадратная матрица размера (n,n) действует на столбец (n,0). Как мы видели, группа евклида 2D, относящаяся к пространству (x,y), не включает действия на столбцы:
(51)
но на столбцы:
(52)
Что представляет собой пример действия группы на пространстве X с x ∈ X. Существует бесконечное множество возможных действий, даже на саму группу. Действия определяются аксиомами.
(53)
Рассмотрим столбец:
(54)
где x может представлять, например, векторы:
(55)
(56)
которые удовлетворяют аксиомам действия группы. Можно ли тогда умножить квадратную матрицу, представляющую элемент группы, слева на строку y, и спросить, является ли это также действием?
(57) Ag(y) = y x g
Ответ — нет. Это не является действием группы: оно не удовлетворяет приведённым выше аксиомам. Это то, что я люблю называть "антидействием", подчиняющимся следующим "антиаксиомам":
(58)
Математик скажет, что нет необходимости прибегать к этим "антидействиям", и что существует лишь одна система аксиом. Конечно. То же самое относится и к тому, что считается антидействием:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
где m — заданный вектор, "антидействие элемента g группы G на матрицу m", при этом g⁻¹ обозначает обратную матрицу, может рассматриваться как действие элемента g⁻¹.
Точно так же антидействие — это просто двойственное действие. Я считаю удобным ввести этот концепт по педагогическим соображениям.
Из группы квадратных матриц, зависящих от n параметров π, можно получить матрицы, дифференцируя все эти параметры по dπi. Полученные таким образом матрицы, заполненные элементами dπi, не образуют группу, но то, что называется "касательным вектором к группе": dg (его "алгебра Ли", которая, кстати, тоже не является настоящей алгеброй, но об этом позже).
Таким образом, группа может действовать на "касательный вектор" dg в окрестности нейтрального элемента e группы через "антидействие":
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Таким образом, получаем схему:
(61)
Но антидействие — это двойственное действие. А при наличии двойственности сохраняется скалярное произведение S.
Сурио поэтому стремился построить второе действие группы, действие группы на пространстве её импульсов. Но это действие, называемое сопряжённым или фундаментальным, не могло возникнуть напрямую. Ему пришлось пройти через этот промежуточный этап, который я называю "антидействием группы на её касательный вектор".
Таким образом, искомое действие возникает как двойственное антидействию группы на её касательный вектор. А двойственное антидействию — это действие, которое записывается как:
(62) Ag(J)
где J — "импульс": конфигурация величин, являющихся характеристиками "материальной точки", при этом действие, называемое сопряжённым, показывает, как эти характеристики изменяются при движении.
Существует группа, которую мы рассмотрим позже, которая является расширением группы Галилея, также упомянутой позже, и называется группой Баргмана (1960). Применяя этот метод к этой группе, можно построить её импульс JB и способ действия группы на него.
Сурио привык говорить:
Импульс следует за движением, как его тень.
Красивая метафора, заимствованная из его книги "Грамматика природы". Материальная точка действительно движется в пространстве-времени (x,y,z,t). При этом её характеристики изменяются, и это описывается сопряжённым действием группы на пространстве её импульсов.