группы и физика сопряженное действие импульса
| 6 |
|---|
Мы не будем писать компоненты момента группы Баргмана. Схематически запишем момент группы Баргмана следующим образом:
JB = { скаляр m, плюс другие компоненты момента }
Сопряженное действие показывает, как преобразуются различные компоненты момента. Но это сопряженное действие начинается с простого соотношения:
(63) m' = m
Сопряженное действие группы Баргмана на ее момент начинается с сохранения массы, которая таким образом получает чисто геометрический статус .
Построение сопряженного действия группы Пуанкаре на ее пространстве моментов Jp**.**
Если вы уже полностью запутались, забудьте об этом. Это нормально, и по мере чтения страницы это станет все сложнее. Я уже не могу точно сказать, кому адресовано то, что следует. Наверное, теоретическим физикам или математикам, но, вероятно, не плотникам-кровельщикам. Но студенты из Высшей школы или бакалавриата по физике, которые будут настойчиво следовать, смогут понять. Это всего лишь матрицы.
Все начинается с группы матриц размером (4,4), которые составляют группу Лоренца, элемент которой - L.
Эти матрицы определяются аксиоматически с помощью матрицы G:
(64)
согласно:
(65) tL G L =G
вовлекая транспонированную матрицу L.
Матрицы L образуют группу.
Доказательство.
Нейтральный элемент - L = 1:
Пусть L1 и L2 - два элемента множества. Проверим, что произведение L1L2 принадлежит группе. Если это так:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Но:
t( A B ) = t B t A
Поэтому:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Теперь вычислим обратную матрицу L. Начнем с аксиоматического определения элементов L:
tL G L =G
Умножим справа на L-1:
tL G L L-1 =G L-1
tL G = G L-1
Умножим слева на G:
G tL G =G** G **L-1
G tL G = L-1
Следовательно, обратная матрица L:
L-1 = G tL G
То есть:
(66)
вектор пространства-времени. Матрица G происходит из метрики Минковского, которую можно тогда записать (с c = 1):
(67)
Упражнение: показать, что обратная матрица подчиняется:
(68)
Затем вводится вектор пространственно-временной трансляции:
(69)
Из которого создается элемент gp группы Пуанкаре:
(70)
Упражнение: показать, что это образует группу и вычислить обратную матрицу:
(71)
Вот "вектор касательной к группе, элемент ее "алгебры Ли":
(72)
Из этого мы вычислим антидействие:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
В целях удобства вычисления, заметим, что:
(74) G d L
- это антисимметричная матрица. Назовем ее:
(75)
поэтому:
(76)
Положим:
(77)
Из этого материала мы составим антидействие:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
После всех вычислений мы получим отображение:
(79)
Если вы хотите пропустить этот простой матричный расчет, обратитесь к уравнению (80), внизу страницы
(79a)
(79b)
отсюда элементы антидействия:
(79c)
но:
(79d)
поэтому:
(79e)
но GG = **1 поэтому **:
(79f)
отсюда получаем отображение:
(79g)
Это и есть искомое антидействие, отображение:
(80)