группы и физика коадъюнктное действие импульса
| 8 |
|---|
(91)
Это коадъюнктное действие можно записать в матричной форме.
Матрица группы Пуанкаре:
(92)
её транспонированная:
(93)
Рассмотрим матрицу:
(94)
То есть мы собираемся поместить момент
(95) Jp = { M , P }
в матричной форме и образуем произведение:
(96)
(97)
(98)
которое я могу идентифицировать с матрицей:
(99)
Jp, таким образом, является моментом группы Пуанкаре, записанным в матричной форме. И коадъюнктное действие записывается как:
(100)
В качестве упражнения читатель может, опираясь на аксиомы, проверить, что это действительно действие.
Момент группы Пуанкаре можно выразить следующим образом:
(101)
Эта матрица антисимметрична (что влечет за собой, что её главная диагональ состоит из нулей). M - это матрица:
(102)
Выразим её:
(103)
Это действительно антисимметричная матрица, гипотеза, сформулированная с самого начала, которая зависит от шести параметров:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Три последних ( fx , fy , fz) - это компоненты вектора, вектора-смещения f:
(105)
Три первых ( lx , ly , lz) - это независимые компоненты антисимметричной матрицы (3,3), вращения l:
(106)
Таким образом:
(107)
Вектор P является четырёхвектором импульса-энергии:
(108)
Тогда можно выразить момент группы Пуанкаре во всей его общности:
(109)
Можно проверить, что это действительно объект с десятью компонентами (число, равное числу размерностей группы).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}