группы и физика сопряжённое действие импульса
| 14 |
|---|
Центральное расширение группы Пуанкаре.
Упоминание такого расширения можно найти в книге Ж.М. Суриа, "Структура динамических систем". Его метод геометрического квантования позволяет, исходя из группы, восстановить уравнения квантовой механики. Например, группа Баргмана, описывающая нерелятивистскую материальную точку, приводит к уравнению Шрёдингера, также нерелятивистскому.
Исходной точкой является группа Галилея. Это матрица размером (5,5), построенная следующим образом:
(152)
Матрица вращения зависит от трёх параметров — углов Эйлера. Следовательно, размерность группы равна десяти.
Используя обозначения:
(153)
(154)
связанные с пространственно-временным пространством:
(155)
Несмотря на кажущуюся странность, при построении сопряжённого действия группы на пространстве импульсов масса m не появляется как геометрический объект. Это возможно лишь при помощи нетривиального расширения этой группы — группы Баргмана (1960).
(156)
Наличие скаляра f увеличивает размерность группы на единицу — до одиннадцати.
Эта группа действует на пятимерном пространстве — пространственно-временном, плюс одна дополнительная размерность z — посредством действия:
(157)
Сопряжённое действие группы Баргмана на её импульс было приведено выше. Видно, что добавление скаляра f, увеличивающего размерность группы, добавляет дополнительную компоненту импульса, которая идентифицируется с массой m (которая при этом сохраняется: m' = m).
Исходя из группы Баргмана и используя его метод геометрического квантования, Суриа может построить уравнение Шрёдингера, нерелятивистское.
Квантовое релятивистское уравнение — это уравнение Клейна — Гордона. Поэтому логично было бы выяснить, от какой группы оно может происходить. Это центральное расширение:
(158)
"pe" означает "расширенная группа Пуанкаре". Здесь мы построили группу Пуанкаре из ортохронной подгруппы группы Лоренца Lo.
Пространство, связанное с этой группой, также является пятимерным:
(159) (t, x, y, z, z).
Это расширение проще, чем расширение Баргмана, но на самом деле в релятивистском случае всё всегда проще. Доказывается, кстати, что между 1 и f в первой строке может находиться только строка-матрица 0 = (0 0 0) — то есть все нули.
Метод геометрического квантования приводит к уравнению Клейна — Гордона. При рассмотрении действия группы на пространстве импульсов получаем следующее:
(160)
Jpe = {c, M, P} = {c, Jp}
Вычисления несложны. Они полностью повторяют вычисления сопряжённого действия группы Пуанкаре на её импульс.
Вычисляем антисопряжённое действие:
(160 b)
Затем выражаем инвариантность скалярного произведения (дуальности):
(160 c)
Если вы справитесь с этим вычислением, это будет действительно хороший знак. Это означает, что вы начинаете понимать эту сложную систему.
Таким образом, появляется скаляр c, единственная функция которого — сохраняться. Что он означает? Объяснения нет. Просто «что-то, что сохраняется». Можно, например, приписать ему статус электрического заряда.
Первая мысль — повторить такое расширение несколько раз:
(161)
Позже будет показано, что эту операцию можно выполнять бесконечно, и каждый раз добавляется дополнительный скаляр:
(162) Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P} Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., Jp}
с соответствующим сопряжённым действием:
(163)
Тогда будем считать, что дискретные значения компонент импульса соответствуют зарядам частицы.
Хорошо, скажет читатель, действительно, можно добавить, например, шесть дополнительных строк. Тогда получим инвариантность скаляров, которые можно идентифицировать как:
(164)
c₁ = e (электрический заряд)
c₂ = cB (барионный заряд)
c₃ = cL (лептонный заряд)
c₄ = cm (мюонный заряд)
c₅ = ct (тау-заряд)
c₆ = v (гиромагнитный коэффициент)
Достаточно рассмотреть группу с соответствующим действием, связанную с десятимерным пространством:
(165) (x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Опять же, группа строится вокруг ортохронной подгруппы Lo группы Лоренца:
Lo = Ln (нейтральная компонента) » Ln (инверсия пространства).
Эта группа, имеющая две компоненты, просто порождает шесть скаляров, сопровождающих частицу, не взаимодействующих ни с чем. Импульс становится:
(167) Jpe = {q, cB, cL, cm, ct, v, Jp}
где Jp — «часть Пуанкаре». Однако это остаётся интересным лишь в ограниченной степени.