группы и физика сопряжённое действие импульса
| 15 |
|---|
Возвращение к вопросу об импульсе.
Мы готовы отправиться в приключение, то есть записать простую матрицу, придумать группу, зависящую от определённого числа параметров и способную действовать на пространство с определённым числом измерений (в данном случае — десять). Затем, действуя методом бустрофедона (от «бус» — бык и «стросфейн» — борозда), мы вычислили знаменитое сопряжённое действие группы на её пространстве импульсов и определили его, его характеристики, компоненты и способ, которым это сопряжённое действие действует на них, к чему мы попытаемся придать смысл, физическую интерпретацию.
Вернёмся на мгновение к пройденному пути, снова взяв на вооружение группу, которая, хотя и кажется формально более сложной:
(168)
привела нас к сопряжённому действию, представленному ниже:
(169)
которое сразу же выявило компоненты этого точечного объекта, этого материального пункта.
(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx , lx , lx , lx }
В любом случае, изначально мы знали, что этот таинственный импульс должен состоять из одиннадцати скаляров, поскольку их количество должно быть равно размерности группы, которая также равна одиннадцати. Быстрый взгляд на матрицу-элементы группы Баргмана:
(171)
a — матрица «ортогональная», матрица «вращающая» или «связанная с вращением в трёхмерном пространстве». Мы уже подробно расписали её в случае двух измерений. В этом случае матрица зависела только от одного параметра — угла поворота α.
В трёх измерениях она будет зависеть от трёх параметров — углов Эйлера:
α β γ
Вектор скорости v даёт три дополнительных параметра:
vx vy vz
Пространственная трансляция c добавляет ещё три:
Dx Dy Dz
И временная трансляция — один дополнительный параметр: e = Dt
Итого: десять.
Добавим загадочный одиннадцатый параметр: f, «связанный с квантовым миром». Хорошо...
Общее число: одиннадцать. Следовательно, импульс из одиннадцати компонент, который я могу записать в виде:
(172)
JB = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Вычисляя всё это, я смог обнаружить связи между компонентами импульса, способ, как они взаимосвязаны, объединяются, образуя:
- скаляры (E и m)
- векторы (p и f)
- матрицу: l.
Это как если бы я сказал: у человека есть голова, два руки и две ноги. Но как он передвигается, как эти «компоненты» «сочленены» между собой?
Сопряжённое действие дало нам более точное понимание, как группа действует на эти элементы импульса:
(173)
В этой таблице сразу бросается в глаза, что в этом знаменитом импульсе существует одна из его компонент — m (которую можно было бы оставить с её первоначальным, произвольным названием: J2), — простой скаляр, который остаётся неизменным под действием группы.
Мы тогда подумали, что это положение вполне соответствует тому, что мы считаем известным о массе m в нерелятивистском мире.
Эти формулы импульса дают нам значения этих «появившихся» характеристик, компонент импульса, связанного с материальной точкой: мы отслеживаем материю в её состояниях: когда она повёрнута (a), смещена пространственно (c), временно смещена (e), движется со скоростью v и загадочно смещена в ещё более загадочную пятую размерность z на величину f, о которой нам говорят, что «всё это связано с квантовым миром».
Хорошо...
Импульс подвергается преобразованию через сопряжённое действие, действующее на него. Он переходит из одного «состояния»:
(174)
в другое «состояние»:
(175)
Почему бы не рассматривать тогда некое «основное состояние», которое было бы:
(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
и утверждать, что сопряжённое действие порождает характеристики, которые я смог бы распознать?
Но я вижу, что мне нужно хотя бы включить массу m, поскольку сопряжённое действие её не меняет. Если бы я взял её нулевой, она оставалась бы нулевой. Следовательно, я должен начать с базового объекта:
(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
Этот объект не обладает энергией. Энергию ему придаёт действие группы. Также она придаёт ему импульс, вращение и поворот.
Кинетическая энергия:
(178)
Импульс (интегральный физик сказал бы «количество движения»):
(179) m v
Вращение, своего рода собственный кинетический момент, как если бы наша материальная точка могла вращаться вокруг себя (что возможно, например, для маленькой металлической шарика массой m, достаточно малого, чтобы его можно было считать точечным):
(180)
Остаётся этот крайне озадачивающий для физика объект — «смещение». Действуя на мою материальную точку, я придаю ей «характеристику-смещение», которой изначально не было, и она оказывается равной:
(181)
Все компоненты матрицы группы были рассмотрены как независимые величины. Это — «наиболее общий транспорт».
В конечном счёте, когда мы действуем на человека, он может оказаться «перемещённым» и «помещённым во все свои состояния».
Здесь речь идёт о наиболее общем виде транспорта, при котором наша материальная точка:
либо: — повёрнута: a
— смещена пространственно: c
— смещена во времени: e
— движется со скоростью: v
— смещена на загадочную величину f в ещё более загадочное пространство z.
либо: — наблюдается на расстоянии c
— наблюдателем, движущимся со скоростью v
— под углом a
— согласно кинематографической записи, сделанной e = Dt раньше или позже.
— из «пятого пространственного взгляда» z, где наблюдатель загадочным образом «смещён на z».
Всё это, как предполагается, «возвращается к одному и тому же».