f4202 Геометризация материи и антиматерии посредством сопряжённого действия группы на её пространстве импульсов. 1 :
Заряды как дополнительные скалярные компоненты импульса группы, действующей на 10-мерном пространстве.
Геометрическое определение антиматерии. (p2) – Третья компонента :
(14)
построенная из компоненты $L_t$ группы Лоренца.
– и четвёртая :
(15)
построенная из компоненты $L_{st}$ группы Лоренца.
Группа действует на своём пространстве импульсов [1]. Обозначим как $J_p$ пространство импульсов, связанное с группой Пуанкаре.
…Каждый отдельный элемент J$_p$ из $J_p$ соответствует определённому движению релятивистской массовой точки, описываемому этой группой. Можно вычислить сопряжённое действие группы на импульсе [1].
Импульс представляет собой набор из 10 компонент (равных размерности группы). Эти компоненты:
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$ — энергия.
p — вектор импульса :
(17)
f — вектор прохождения [1].
(18)
s — антисимметричная матрица (3,3), независимые компоненты которой
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
Импульс может быть представлен в матричной форме [1], с :
(20)
и :
(21)
Введём четырёхвектор импульса-энергии :
(22)
(23)
или :
(24)
Затем сопряжённое действие группы Пуанкаре может быть записано в матричной форме :
(25)
Более явно :
(26)
…Интересно изучить влияние различных компонент полной группы Пуанкаре на компоненты её пространства импульсов. Можно сосредоточиться на определённых матрицах :
(27)
A — матрица Лоренца, связанная с этим.
Сопряжённое действие даёт :
(28)
(29)
где $I_4$ — нейтральная компонента полной группы Пуанкаре.
Соответствующее сопряжённое действие:
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— что инвертирует пространство. Соответствующее сопряжённое действие:
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— что инвертирует время. Соответствующее сопряжённое действие:
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— что инвертирует и пространство, и время. Соответствующее сопряжённое действие:
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
Как отмечает Ж.М. Суриа [1], две компоненты
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
сопровождаются инверсией энергии $E \mapsto$ –$E$, что означает инверсию массы $m \mapsto$ –$m$.
Определим следующие множества матриц :
(30)
Оригинальная версия (английский)
f4202 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p2) - A third component :
(14)
built with the component Lt of the Lorentz group.
- and a fourth one :
(15)
built with the component Lst of the Lorentz group.
A group acts on its momentum space [1]. Call Jp the momentum space associated to the Poincaré group.
...Each peculiar moment Jp Jp, is a peculiar movement of the relativistic mass point, described by this group. On may compute the caodjoint action of the group on the momentum [1].
The momentum is a set of 10 components (equal to the dimension of the group). These components are :
(16) Jp** **= { E , px , py , pz , fx , fy , fz , sx , sy , sz } = { E , p , **f **, **s **}
E is the energy.
p is the impulsion vector :
(17)
f is the passage vector [1].
(18)
** ** s is an antisymmetric (3,3) matrix, whose independant components are
(19)
{ sx , sy , sz }
The momentum can be arranged into a matrix form [1], with :
(20)
and :
(21)
Introduce the impulsion-Energy four-vector :
(22)
(23)
or :
(24)
Then the coadjoint action of the Poincaré group can be written into a matrix form :
(25) )
More explicitely :
(26)
...It is interesting to study the impact of the different components of the complete Poincaré group on the components of its momentum. We can concentrate on peculiar matrixes :
(27)
A is the associated Lorentz matrix.
The coadjoint action gives :
(28)
(29)
and is the neutral component of the complet Poincaré group.
The corresponding coadjoint action is : E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; s ----> s
which reverses space. The corresponding coadjoint action is :
E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses both space and time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; s ----> s
As pointed out by J.M.Souriau [1] , The two components
go with the inversion of the energy E ----> - E , so that it implies the inversion of the mass m ---> - m
Define the following sets of matrixes :
(30) .