f4505 Геометризация материи и антиматерии посредством сопряжённого действия группы на её пространстве моментов. 4 : Группа-близнец. Геометрическое описание антиматерии Дирака. Геометрические интерпретации антиматерии после Фейнмана и так называемая теорема CPT. (p5)
Уравнение (16) — это действие на элементе алгебры Ли , соответствующем группе . Сопряжённое действие является двойственным этому действию и основано на инвариантности скаляра. Назовём S этот скаляр, с которого вычисляется сопряжённое действие группы на её момент. Мы вычисляем сопряжённое действие группы g3 из скаляра:
(17) c dJ + S
Сопряжённое действие группы g3 на её момент затем:
(18) (4529)
Момент группы g3:
(19) J = { c , момент группы G }
Расширение группы добавляет компоненту c к моменту, которая подчиняется (20). В частности, если , то есть:
(20) (4531)
его сопряжённое действие:
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
Уравнения (22) + (23) соответствуют сопряжённому действию группы Пуанкаре, когда L — нейтральная компонента группы Лоренца.
Мы знаем, что мы можем представить момент Jp группы Пуанкаре gp в виде антисимметричной матрицы:
(24) (4534)
Его действие на этот момент:
(25) (4535)
Мы можем тогда записать:
(26) **J **= { c , Jp }
и:
(27) (4536) c' = l m c
Размерность группы Пуанкаре равна десяти. Размерность этого расширенного множества равна одиннадцати, из-за добавления новой переменной f . ( l = ± 1 ) и ( m = ± 1 ) не представляют новые размерности группы.
Этот метод можно расширить сколько угодно раз. Рассмотрим следующую матрицу:
(28) (4537)
Группа Пуанкаре имеет десять измерений. Набор ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 ) добавляет шесть дополнительных измерений. Скаляры ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) фиксированы и не соответствуют новым измерениям.
Сопряжённое действие группы на её момент
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
равно:
(30) (4538) c'i = li m ci при i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Ссылки.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Геометризация материи и антиматерии посредством сопряжённого действия группы на её пространстве моментов. 1 : Заряды как дополнительные скалярные компоненты момента группы, действующей на 10-мерном пространстве. Геометрическое определение антиматерии. Геометрическая физика B , 1 , март 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Геометризация материи и антиматерии посредством сопряжённого действия группы на её пространстве моментов. 2 : Геометрическое описание антиматерии Дирака. Геометрическая физика B, **2 **, март 1998.
[3] J.P.Petit и P.Midy : Геометризация материи и антиматерии посредством сопряжённого действия группы на её пространстве моментов. 3 : Геометрическое описание антиматерии Дирака. Первое геометрическое толкование антиматерии после Фейнмана и так называемой теоремы CPT. Геометрическая физика B , 3 , март 1998.
[4] J.M.Souriau : Структура динамических систем, Dunod-France Ed. 1972 и Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Геометрия и относительность. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "Теория протонов и электронов", 6 декабря 1929 года, опубликовано в трудах Королевского общества (Лондон), 1930 : A **126 **, стр. 360-365
[7] R.Feynman : "Причина антиматерии" в "Элементарных частицах и законах физики". Издательство Кембриджского университета, 1987.
Благодарности.
Эта работа поддержана французским CNRS и компанией Brevets et Développements Dreyer, Франция.
Заявлено в запечатанном конверте в Академию наук Парижа, 1998.
Авторские права Академии наук Франции, Париж, 1998.
Оригинальная версия (английский)
f4505 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. (p5)
The equation (16) is the action on the Lie algebra element , corresponding to the group .The coadjoint action is the dual of this action and is based on the invariance of a scalar. Call S this scalar from which one computes the coadjoint action of the group on its momentum. We compute the coadjoint action of the group g3 from the scalar :
(17) c dJ + S
Then the coadjoint action of the group g3 on its momentum is :
(18) (4529)
The moment of the group g3 is :
(19) J = { c , momentum of the group G }
The extension of the group adds a component c to the moment, which obeys (20). In particular, if , i.e :
(20) (4531)
its coadjoint action is :
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
The equations (22) + (23) identifies to the coadjoint action of the Poincaré group when L is the neutral component of the Lorentz group.
We know that we can put the momentum Jp of the Poincaré group gp into an antisymmetric matrix :
(24) (4534)
The its action on this momentum is :
(25) (4535)
Then we can write :
(26) **J **= { c , Jp }
and :
(27) (4536) c' = l m c
The Dimension of the Poincaré group is ten. The dimension of this extended group is eleven, due to adding the new variable f . ( l = ± 1 ) and ( m = ± 1 ) are not new dimensions of the group.
This method can be extended as many times as one wants. Consider the following matrix :
(28) (4537)
The Poincaré group depends owns ten dimensions. The set ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 )
adds si more dimensions. The scalar ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) are fixed and do not correspond to new dimensions.
The coadjoint action of the group on its momentum
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
is :
(30) (4538) c'i = li m ci with i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
References.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B , 1 , march 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical Physics B, **2 **, march 1998.
[3] J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's antimatter. A first geometrical interpretation of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B , 3 , march 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 and Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "A theory of protons and electrons", Dec. 6th 1929, published in proceedings of Royal Society ( London), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
[7] R.Feynman : "The reason for antiparticles" in "Elementary particles and the laws of physics". Cambridge University Press 1987.
Acknowledgements.
This work was supported by french CNRS and Brevets et Développements Dreyer company, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright french Academy of Science, Paris, 1998.