Математика геометрия поверхность топология

Как превратить поверхность Кросс-Кап в поверхность Боя (правую или левую, по выбору), пройдя через поверхность Стейнера.

Итальянец: Андреа Самбусетти, университет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 сентября - 25 октября 2003 **

**Страница 2 **

Вот "поверхность Кросс-Кап" (так вы бы ее обнаружили на изображениях виртуальной реальности). Она имеет два острых угла, которые являются вершинами линии самопересечения. Ее можно сделать, сжав воздушный шарик зажимами для укладки волос. Но вы также можете создать ее многогранные представления. Ниже приведен такой пример, который особенно нас интересует.

В таблице 4 находится самое сложное для изучения. Мне кажется невозможным, чтобы кто-либо хорошо понимал эти объекты просто посмотрев на рисунки. Сделайте модели. Простыми словами, тяните острые точки C2 внутрь поверхности (что, между прочим, не имеет смысла, поскольку, как вы, наверное, заметили сразу, поверхность Кросс-Кап односторонняя: у нее нет внешней и внутренней стороны). Надавив, поверхность "самопересекается", и множество самопересечений дополняется, немного округляя вещи, кривой в форме восьмерки. В частности, создано тройное точка T.

Поверхность становится более понятной в своей многогранной форме, и внизу мы увеличили некоторые элементы, чтобы показать, что заставляет нас преобразовать этот объект в поверхность Стейнера (см. симуляцию виртуальной реальности), которая имеет самую простую многогранную форму, состоящую из четырех кубов (здесь видно только три).

Таблица 5: многогранная версия слева, круглая справа. Стрелка проходит через точку, которую мы "сжимаем". Ниже показано начало операции сжатия.

Таблица 6: сжатие выполняется и создает особую точку B. На самом деле, поскольку мы сжимаем с обеих сторон (чтобы сэкономить время), формируются две особые точки S1 и S1, затем две острые точки. В этот момент, без картона, ножниц и скотча, вы в беде.

Таблица 7: здесь мы просто переместили различные острые точки. Если точка C2 "очевидна", вы, наверное, будете иметь больше трудностей, чтобы определить точки C3 и C4 как острые. Однако они там, на концах линии самопересечения. Над точкой C3 находится просто то, что я назвал "позиконом", точка, в которой концентрируется положительная кривизна (точка, в которой концентрируется отрицательная кривизна, я называю "негаконом"). Немного деформируя этот объект, вы получаете многогранную форму поверхности Стейнера (изобретенную Стейнером в Риме; см. его изображение в виртуальной реальности).

Итак, игра закончена. Существует различные типы поверхностей, в зависимости от правил, которые вы устанавливаете. Поверхности, которые не пересекаются сами с собой, называются "вложениями" (сферы или тора в R3). Когда же они пересекаются сами с собой, но касательная плоскость изменяется непрерывно без вырождения, они называются погружениями. Например: бутылка Клейна в ее классическом представлении. В R3 не существует представления бутылки Клейна в виде вложения: она обязательно пересекается. Погружения имеют множества самопересечений без острых точек. Эти множества являются непрерывными кривыми, но могут пересекаться в двойных или тройных точках. Наблюдение: сфера может быть представлена как погружение (не вложение), заставляя ее пересекаться. Это, на самом деле, способ, с помощью которого можно перевернуть ее (см. метод А.Филлипса, 1967, в котором центральным шагом является двойное накрытие поверхности Боя; см. также Б.Морин и Ж.П.Петье, 1979, в которых в качестве центрального образца используется модель "с четырьмя ушами" Морина, которую вы видите ниже в моем изобретенном многогранном представлении, которое я придумал около десяти лет назад).

Схема сборки этого объекта из бумаги и ножниц

Если расширить правила игры, допуская, что эти объекты могут иметь острые точки, мы получаем погружения (поверхность Кросс-Кап, поверхность Стейнера). Я не знаю, является ли "погружение" правильным термином, но, поскольку я не нашел ни одного математика, который мог бы разъяснить мне это, я нашел забавным придумать свой, временно, пока не появится опытный геометр. Таким образом, поверхность Кросс-Кап и поверхность Стейнера являются погружениями "проективной плоскости".

Честно говоря, после двадцати пяти лет деятельности и моих разочарованиях в области магнитогидродинамики, я начал эти работы, потому что они казались мне самыми дальними от любой военной цели. Но, как мне заметил мой старый друг Михн, слово "погружение" может ввести в заблуждение и заставить военно-морской флот думать, что через эти исследования я пытаюсь скрыть прогресс в области подводной пропульсии.

Правило "создания-разрушения" пар острых точек позволяет перейти от одного погружения объекта к другому, и именно это мы только что сделали, показав, что поверхность Кросс-Кап и поверхность Стейнера являются двумя погружениями одного и того же объекта, известного как проективная плоскость. Не пытайтесь представить "проективную плоскость". Этот объект можно понять только через различные представления. Что касается термина "проективный", то это просто один из тысяч, придуманных математиками, чтобы отвлечь тех, кто хочет проникнуть в их закрытый круг. "Заничелли" не поможет вам в математике.

Итак, нам остается увидеть, как перейти к поверхности Боя, которая является погружением проективной плоскости

Предыдущая страница Следующая страница

Вернуться к индексу "Преобразование Кросс-Кап в Боя "

Вернуться к разделу "Новинки" Вернуться к разделу "Руководство" Вернуться к Главной странице

Количество посещений с 25 октября 2003 :

Изображения