Математика геометрия поверхности топология

Как превратить поверхность Кросс-Кап в поверхность Боя (правую или левую, по выбору), пройдя через поверхность Стейнера.

Итальянский: Андреа Самбусетти, университет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 сентября - 25 октября 2003 **

**Страница 2 **

Вот "поверхность Кросс-Кап" (так вы бы ее обнаружили на изображениях виртуальной реальности). Она имеет два каспичных точки, которые являются вершинами линии самопересечения. Ее можно создать, сжав воздушный шарик зажимами для укладки волос. Но вы также можете создать ее многогранные представления. Ниже приведен такой пример, который нас особенно интересует.

В таблице 4 находится самое сложное для изучения. Мне кажется невозможным, чтобы кто-то хорошо понимал эти объекты просто глядя на рисунки. Сделайте модели. Простыми словами, тяните каспичную точку C2 "внутрь поверхности" (что, между прочим, не имеет смысла, поскольку, как вы, наверное, сразу заметили, поверхность Кросс-Кап является односторонней: у нее нет внешней и внутренней стороны). Продолжая, поверхность "самопересекается", и множество самопересечений дополняется, немного округляя вещи, кривой в форме восьмерки. В частности, создано тройная точка T.

Поверхность становится более понятной в своей многогранной форме, и внизу мы увеличили некоторые элементы, чтобы показать, что заставляет нас преобразовать этот объект в поверхность Стейнера (см. симуляцию виртуальной реальности), которая имеет самую простую многогранную форму, состоящую в сборке четырех кубов (здесь видно только три).

Таблица 5: многогранная версия слева, круглая справа. Стрелка проходит через точку, которую мы собираемся "сжать". Ниже показано начало операции сжатия.

Таблица 6: сжатие выполняется и создает особую точку B. На самом деле, поскольку мы сжимаем с обеих сторон (чтобы сэкономить время), образуются две особые точки S1 и S1, затем две каспичные точки. В этот момент, без картона, ножниц и скотча, вы в беде.

Таблица 7: мы просто переместили различные каспичные точки. Если точка C2 "очевидна", вы, вероятно, будете иметь больше трудностей, чтобы определить точки C3 и C4 как каспичные. Тем не менее, они есть, на концах линии самопересечения. Над точкой C3 находится просто то, что я назвал "позиконом", точка, в которой концентрируется положительная кривизна (точка, в которой концентрируется отрицательная кривизна, я называю "негаконом"). Немного деформируя этот объект, вы приходите к многогранной форме поверхности Стейнера (изобретенной Стейнером в Риме; см. его изображение в виртуальной реальности).

Итак, игра окончена. Существует различные типы поверхностей, в зависимости от правил, которые вы устанавливаете. Поверхности, которые не самопересекаются, называются "вложениями" (сферы или тора в R3). Когда же они самопересекаются, но касательная плоскость непрерывно меняется без дегенерации, они называются погружениями. Например: бутылка Клейна в ее классическом представлении. В R3 не существует представления бутылки Клейна в виде вложения: она обязательно самопересекается. Погружения имеют множества самопересечений без каспичных точек. Эти множества являются непрерывными кривыми, но могут пересекаться в двойных или тройных точках. Наблюдение: сфера может быть представлена в виде погружения (не вложения), заставляя ее самопересекаться. Это, на самом деле, способ, с помощью которого можно перевернуть ее (см. метод А.Филлипса, 1967, который имеет в центре своего внимания двойное покрытие поверхности Боя; см. также Б.Морин и Ж.П.Петит, 1979, в котором в качестве центрального модели используется модель "с четырьмя ушами" Морина, которую вы видите ниже в моем многогранном представлении, которое я придумал около десяти лет назад).

Схема сборки этого объекта из бумаги и ножниц

Если расширить правила игры, допуская, что эти объекты могут также иметь каспичные точки, мы получаем погружения (Кросс-Кап, поверхность Стейнера). Я не знаю, является ли "погружение" правильным термином, но так как я не нашел ни одного математика, который мог бы прояснить мне это, я нашел забавным придумать свой, временно, пока не появится опытный геометр. Таким образом, поверхность Кросс-Кап и поверхность Стейнера являются погружениями "проективной плоскости".

Вообще говоря, после двадцати пяти лет деятельности и моих разочарований в области магнитогидродинамики, я начал эти работы, потому что они казались мне самыми дальними от любой военной цели. Но, как мне заметил мой старый друг Мин, термин "погружение" может ввести в заблуждение и заставить военно-морской флот думать, что через эти исследования я пытаюсь скрыть прогресс в области подводной тяги.

Правило "создания-разрушения" пар каспичных точек позволяет перейти от одного погружения объекта к другому, и именно это мы только что сделали, показав, что Кросс-Кап и поверхность Стейнера являются двумя погружениями одного и того же объекта, известного как проективная плоскость. Не пытайтесь представить себе "проективную плоскость". Этот объект можно понять только через различные представления. Что касается термина "проективный", это просто один из тысяч, придуманных математиками, чтобы запутать тех, кто хочет проникнуть в их закрытый круг. "Заничелли" не поможет вам в математике.

Итак, нам остается увидеть, как перейти к поверхности Боя, которая является погружением проективной плоскости

Предыдущая страница Следующая страница

Вернуться к индексу "Преобразование Кросс-Кап в Боя "

Вернуться к разделу Новинки Вернуться к разделу Руководство Вернуться к Главной странице

Количество посещений с 25 октября 2003 :

Изображения