Геометрия поверхность Боя модель полиэдрическая римская поверхность Стейнера

Как преобразовать поверхность Кросс-Кап в поверхность Боя (правую или левую, по выбору), пройдя через римскую поверхность Стейнера.

Итальянец: Андреа Самбусетти, университет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 сентября - 25 октября 2003 **

**Страница 4 **

Представляем модель с другого ракурса:

Таблица 14: мы продолжаем выполнять те же операции, создавая третий "ухо" кривой самопересечения. В полиэдрической модели последняя имеет форму трех квадратов с общим вершиной: точка тройного пересечения T .

Таблица 15: вращая объект, вы найдете полиэдрическую версию поверхности Боя, которую я представил на Топологиконе (где вы также можете найти план сборки, позволяющий построить ее).

Последняя таблица: я попытался проиллюстрировать поверхность Стейнера, когда она изгибается и превращается в поверхность Боя.

Мы видим, что, нарисованная в "круглых" формах, это требует много практики, чтобы понять. Наш глаз очень неудобно, когда речь идет о понимании объекта, для которого на одной и той же линии зрения накладываются более двух листов. Отсюда интерес полиэдрической модели, которая делает доступными для каждого, если только попытаться построить сами модели, преобразования, считавшиеся сложными в геометрии. Заметим в проходе, что в зависимости от выбранных пар острых точек, мы получаем поверхность Боя "правую" или "левую" (полностью произвольные определения). Проективная плоскость погружается в пространство через две "антиавтоморфные" зеркальные представления. Таким образом, мы также видим, что можно перейти от правой поверхности Боя к левой поверхности Боя через "центральную" модель, которая является римской поверхностью Стейнера.

Было бы, безусловно, мило, если бы эти рисунки были опубликованы в журналах, таких как Pour la Science или La Recherche. Но в течение двадцати лет мне "запрещено" публиковаться в этих журналах из-за уфологического девиантства. Спасибо, господа Херве Тис и Филипп Буленгер. Я потерял счет статьям такого рода, которые я предлагал этим журналам, и которые мне вежливо отказали. В конце концов, привыкаешь к своему статусу изгоя.

В качестве анекдота, существует "премия Аламбера", предназначенная для награждения авторов книг по популяризации математики. История была рассказана мне членом комиссии, ответственной за решение, кому должна быть присуждена премия (все же есть вопросы денег за кулисами). Диалог:

• В общем, почему бы не дать премию Пети? Он написал замечательные произведения, такие как "Геометрикон", "Черная дыра" и "Топологикон".

• Да, но он не только это делал.

• На что вы намекаете?

• Он также написал "Стена молчания".

• Ах, тогда...

Да, "Стена молчания", опубликованная в 1983 году, это альбом, посвященный МГД. И, как знает каждый из нас, эта коррозионная наука имеет преимущество, или недостаток, в том, что она позволяет летающим дискам двигаться со сверхзвуковой скоростью без взрыва.

« Спрятайте эту науку, которую я не могу видеть »

У меня есть прекрасная версия "переворачивания куба", которая не является полиэдрической версией варианта Морина. Это мое собственное. Однажды...

22 октября 2003: Не слишком много усилий на этих страницах, если верить счетчику. В понедельник 13 октября 2003 года я провел семинар в Центре математики и информатики (CMI) в Чато-Гомбер-Марсель по приглашению Тротмана. В этот раз я смог вытащить коллекцию около тридцати картонных моделей, которые однажды вы сможете насладиться, так как они были сфотографированы Христофом Тарди.

При проведении семинара создается определенная атмосфера. На фото ниже вы видите геометра, выражающего свое недоумение.

На заднем плане часть моделей, представленных с помощью моего давнего сотрудника, Бориса Колева, члена департамента, также геометра. В определенный момент я задал вопрос:

• Сколько из вас уже видели римскую поверхность Стейнера? Поднимите руку.

Никто никогда не видел. Мне показалось, что полезно представить этот объект с помощью программы виртуальной реальности на ноутбуке, который я имел с собой, программа, разработанная с помощью Христофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескемпа, Института Лауэ-Ланжевена в Гренобле (ILL). Очевидно, эта презентация сбивает с толку аудиторию, мало привыкшую видеть математические поверхности, которые делают повороты по своему желанию.

Две картонные таблицы, видимые на переднем плане, позволили представить всю последовательность моделей в логическом порядке. Модели в зеленом и желтом цвете иллюстрируют, в полиэдрической форме, основной инструмент создания-разрушения пары острых точек. Более удаленный белый объект - это полиэдрическая версия поверхности Кросс-Кап, которая сначала превращается в полиэдрическую версию римской поверхности Стейнера, затем, на расстоянии метра, по желанию, в правую или левую поверхность Боя.

Анализ моделей вызывает различные наблюдения среди аудитории. Один из геометров спрашивает:

*- Если верно, что, следуя этим моделям в этом порядке, можно перейти от поверхности Кросс-Кап к поверхности Боя, то, кажется, что, следуя обратному процессу, можно преобразовать поверхность Боя в поверхность Кросс-Кап. *

Я отвечаю утвердительно. Затем мой собеседник, ободренный, добавляет:

*- Тогда, если мы остановимся на этапе римской поверхности Стейнера, должно быть возможно вернуться к поверхности Боя, но отраженной относительно начальной. *

Я согласен во второй раз. Но, к сожалению, никто не предложит объяснения этого странный мир, в котором разрешается, чтобы погружения замкнутых поверхностей имели острые точки, созданные или разрушенные парами, чье множество представляет собой своего рода расширение мира погружений. Слово "суммирование" кажется мне подходящим. Если читатель способен дать объяснение, то он будет приветствован.

Кривизна, сосредоточенная в острых точках.

Мы рассчитаем ее, суммируя углы в вершине и сравнивая эту сумму с результатом, полученным в случае евклидовой плоскости: 2 p .

В верхнем левом углу вы можете увидеть одну из многих возможных полиэдрических представлений острых точек. "Разбирая" поверхность, мы приходим к сумме углов, превышающей значение 2p на 2a . Из этого следует, что концентрированная угловая кривизна вокруг этой точки C равна - 2a. Если угол a равен p/2, то отрицательная кривизна равна -p (нижний левый рисунок). На самом деле, кривизна острых точек может принимать бесконечно много значений. В нижнем правом углу мы усиливаем угловую сумму, и кривизна становится тогда < -p (мы увеличили отрицательную кривизну).

Делая обратную операцию, мы можем прийти к довольно неожиданной ситуации: мы можем сделать так, чтобы кривизна (угловая), сосредоточенная в C, была ... нулевой:

Теперь начнем с полиэдрического представления поверхности Кросс-Кап, в котором есть две острые точки, каждая из которых имеет кривизну, равную -p :

В этой фигуре восемь "позиций" с положительной величиной p/2. Добавим еще четыре "позиции" с положительной кривизной p/4 и четыре "негациона" с отрицательной кривизной -p/4.

Плюс два острых угла с кривизной -p.

Всего: 2p

Разделив значение этой "общей кривизны" на 2p, мы получаем значение характеристики Эйлера-Пуанкаре любой представления проективной плоскости (или поверхности Боя).

Во время лекции я упомянул искусство и способ перестановки двух острых точек поверхности Кросс-Кап, используя переворачивание...