Геометрия моделей математических поверхностей

Как превратить поверхность Кросс-Кап в поверхность Боя (правую или левую, на выбор), пройдя через поверхность Стейнера.

Итальянец: Андреа Самбусетти, университет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

27 сентября - 25 октября 2003

Страница 4

Представляем модель с еще одной точки зрения:

Таблица 14: мы продолжаем выполнять ту же операцию, создавая третий "ухо" кривой самопересечения. В полигонной модели последняя имеет вид трех квадратов с общим вершиной: точка тройного пересечения T.

Таблица 15: поворачивая объект, вы найдете полигонную версию поверхности Боя, которую я представил на Topologicon (где вы также можете найти схему сборки, позволяющую построить ее).

Последняя таблица: я попытался изобразить поверхность Стейнера, изгибающуюся и превращающуюся в поверхность Боя.

Мы видим, что, нарисованная в "круглых" формах, это требует довольно много практики, чтобы понять. Наш глаз очень неуютно чувствует себя, когда речь идет о понимании объекта, для которого на одной и той же линии зрения накладываются более двух листов. Отсюда интерес полигонной модели, которая делает доступными для каждого, если только попробовать собрать сами модели, преобразования, считавшиеся сложными в геометрии. Наметим в проходе, что в зависимости от выбранных пар острых точек, получается поверхность Боя "правая" или "левая" (полностью произвольные определения). Проективная плоскость погружается в пространство через две "антиавтоморфные" зеркальные представления. Таким образом, мы также видим, что можно перейти от правой поверхности Боя к левой поверхности Боя через "центральную" модель, которая является поверхностью Стейнера.

Было бы, безусловно, приятно, если бы эти рисунки были опубликованы в журналах, таких как Pour la Science или La Recherche. Но в течение двадцати лет мне "запрещено" публиковаться в этих журналах из-за уфологического отклонения. Спасибо, господа Херве Тис и Филипп Буленгер. Я потерял счет количеству статей такого рода, которые я предлагал этим журналам и которые мне вежливо отказали. В конце концов, привыкаешь к своему статусу изгоя.

В качестве анекдота, существует "Приз Аламбера", предназначенный для награждения авторов книг по популяризации математики. История была рассказана мне членом комиссии, ответственной за решение, кому должен быть присужден приз (все же есть вопросы денег за кулисами). Диалог:

• В общем, почему бы нам не дать премию Пети? Он написал замечательные работы, такие как "Géométricon", "Trou Noir" и "Topologicon".

• Да, но он делал не только это.

• На что вы намекаете?

• Он также написал "Mur du Silence".

• Ах, тогда...

Да, "Mur du Silence", опубликованный в 1983 году, это альбом, посвященный МГД. И, как знает каждый из нас, эта коррозионная наука имеет преимущество, или недостаток, в том, что она позволяет летающим дискам двигаться со сверхзвуковой скоростью без взрыва.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

У меня есть прекрасная версия "переворачивания куба", которая не является полигонной версией варианта Морина. Это все мое. Однажды...

22 октября 2003: На этих страницах, если верить счетчику, не слишком много усилий. В понедельник 13 октября 2003 года я провел семинар в Центре математики и информатики (CMI) в Чато-Гомбер-Марсель по приглашению Тротмана. В этот момент я смог вытащить коллекцию около тридцати картонных моделей, которые однажды вы сможете насладиться, так как они были сняты Христофом Тарди.

При проведении семинара создается определенная атмосфера. На фото ниже вы видите геометра, выражающего свое недоумение.

На заднем плане часть из экспонированных моделей с помощью моего давнего сотрудника Бориса Колева, члена департамента, также геометра. В определенный момент я задал вопрос:

• Сколько из вас уже видели поверхность Стейнера? Поднимите руку.

Ни один из них никогда не видел. Мне показалось, что полезно представить этот объект, с помощью программы виртуальной реальности, на ноутбуке, который я имел с собой, программа, разработанная с помощью Христофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескемпа, Института Лауэ-Ланжевена в Гренобле (ILL). Очевидно, эта презентация сбивает с толку аудиторию, которая мало привыкла видеть математические поверхности, делающие повороты по своему желанию.

Две картонные таблицы, видимые в фокусе, позволили представить всю последовательность моделей в логическом порядке. Модели зеленого и желтого цвета иллюстрируют, в полигонной форме, основной инструмент создания-распадения пары острых точек. Более удаленный белый объект - это полигонная версия поверхности Кросс-Кап, которая сначала превращается в полигонную версию поверхности Стейнера, затем, на расстоянии метра, по желанию, в правую или левую поверхность Боя.

Анализ моделей вызывает различные наблюдения в аудитории. Один из геометров спрашивает:

*- Если верно, что, следуя этим моделям в этом порядке, можно перейти от поверхности Кросс-Кап к поверхности Боя, кажется, что, следуя обратному процессу, можно преобразовать поверхность Боя в поверхность Кросс-Кап. *

Я отвечаю утвердительно. Затем, смелее, мой собеседник добавляет:

*- Тогда, если мы остановимся на этапе поверхности Стейнера, должно быть возможно вернуться к поверхности Боя, но отраженной относительно исходной. *

Я согласен во второй раз. Но, к сожалению, никто не предложит объяснения этого странного мира, в котором разрешено, чтобы погружения замкнутых поверхностей имели острые точки, создаваемые или разрушаемые парами, множество которых представляет собой своего рода расширение мира погружений. Слово "суммersion" кажется мне подходящим. Если читатель способен дать какое-либо объяснение, он будет рад.

Кривизна, сосредоточенная в острых точках.

Мы вычислим ее, суммируя углы в вершине и сравнивая эту сумму с результатом, полученным в случае евклидовой плоскости: 2p.

В верхнем левом углу вы можете увидеть одну из многих возможных полигонных представлений острых точек. "Разбирая" поверхность, мы приходим к сумме углов, превышающей значение 2p на 2a. Следовательно, концентрированная угловая кривизна вокруг этой точки C равна -2a. Если угол a равен p/2, то отрицательная кривизна равна -p (рисунок в нижнем левом углу). На самом деле, кривизна острых точек может принимать бесконечное количество значений. В нижнем правом углу мы усиливаем угловую сумму, и кривизна становится тогда < -p (мы увеличили отрицательную кривизну).

Делая обратное, мы можем прийти к довольно неожиданной ситуации: мы можем сделать так, чтобы кривизна (угловая), сосредоточенная в C, была ... нулевой:

Теперь начнем с полигонной представления поверхности Кросс-Кап, в которой есть два острых конца, каждый из которых имеет кривизну, равную -p:

В этой фигуре восемь "позиционов" соответствующих значению + p/2. Добавим еще четыре "позиционов" с кривизной + p/4 и четыре "негациона" с кривизной - p/4.

Плюс два острых конца с кривизной - p.

Всего: 2p

Разделив значение этой "общей кривизны" на 2p, мы получаем значение характеристики Эйлера-Пуанкаре любой представления проективной плоскости (или поверхности Боя).

Во время лекции я упомянул искусство и способ перестановки двух острых точек поверхности Кросс-Кап, используя переворот сферы. Я не помню...