Как превратить поверхность скрещенного колпака в поверхность Буа (правую или левую, по выбору), проходя через римскую поверхность Штейнера.
Итальянский
: Андреа Самбузетти, Римский университет
27 сентября — 25 октября 2003
страница 4
Представим модель еще с одной точки зрения:
Таблица 14: мы всегда повторяем одну и ту же операцию, создавая третье «ухо» кривой самопересечения. В полиэдральной модели последняя имеет форму трех квадратов с общей вершиной: тройная точка T.
Таблица 15: вращая объект, вы найдете полиэдральную версию поверхности Буа, которую я представил в «Топологиконе» (где вы также можете найти план сборки, позволяющий ее построить).
Последняя таблица: я попытался проиллюстрировать поверхность Штейнера в тот момент, когда она извивается и превращается в поверхность Буа.
Мы видим, что, изображенная «округло», она требует изрядной практики для понимания. Наш глаз очень неуютно чувствует себя, когда речь идет о понимании объекта, для которого на одной и той же линии взгляда накладываются более двух слоев. Отсюда интерес полиэдральной модели, которая делает доступными для любого, если только попытаться самому построить модели, преобразования, считающиеся сложными в геометрии. Заметим между прочим, что в зависимости от выбранных пар каспидальных точек получается «правая» или «левая» поверхность Буа (определения совершенно произвольные). Проективная плоскость погружается в пространство посредством двух зеркальных «антиавтоморфных» представлений. Мы видим, таким образом, также и то, что можно перейти от правой поверхности Буа к левой поверхности Буа через «центральную» модель, которой является римская поверхность Штейнера.
Было бы, без сомнения, славно, если бы эти рисунки были опубликованы в таких журналах, как Pour la Science или La Recherche. Но вот уже двадцать лет мне «запрещена» публикация в этих журналах из-за уфологического девиационизма. Спасибо, господа Эрве Тис и Филипп Буланже. Я потерял счет статьям такого рода, которые я предлагал этим журналам и которые были любезно отклонены. В конце концов привыкаешь к своему статусу отлученного.
В качестве анекдота: существует «премия д'Аламбера», предназначенная для вознаграждения авторов книг по популяризации математики. Эту историю мне рассказал член комиссии, которой поручено решать, кому должна быть присуждена премия (за этим все равно стоят денежные вопросы). Диалог:
— В конце концов, почему бы нам не дать премию Пети? Он написал замечательные произведения, такие как «Геометрикон», «Черная дыра» и «Топологикон».
— Да, но он сделал не только это.
— На что вы намекаете?
— Он также написал «Стену молчания».
— А, ну, тогда...
И ведь действительно, «Стена молчания», опубликованная в 1983 году, — это альбом, посвященный МГД. И, как каждый из нас знает, эта разъедающая наука имеет достоинство, или недостаток, позволяющий летающим тарелкам двигаться со сверхзвуковой скоростью без «бума».
«Cachez cette science, que je ne saurais voir»
У меня в ящиках есть великолепная версия «выворачивания куба», которая не является полиэдральной версией варианта Морена. Все целиком моего производства. Однажды...
22 октября 2003: На этих страницах особо не суетятся, если верить счетчику. В понедельник 13 октября 2003 года я провел семинар в CMI (Центр математики и информатики в Шато-Гомбер-Марсель) по приглашению Тротмана. По этому случаю я смог вытащить коллекцию из примерно тридцати картонных моделей, первую пробу которых вы однажды сможете отведать, поскольку они были сфотографированы Кристофом Тарди.
Когда проводишь семинар, создается определенная атмосфера. На фото ниже — геометр, выражающий свое недоумение.
На заднем плане — часть моделей, выставленных с помощью моего давнего сотрудника Бориса Колева, члена кафедры, тоже геометра. В какой-то момент я задал вопрос:
— Сколько из вас уже видели римскую поверхность Штейнера? Поднимите руку.
Никто ее никогда не видел. Поэтому мне показалось полезным представить этот объект с помощью программы виртуальной реальности на ноутбуке, который был со мной, программы, созданной с помощью Кристофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескана из Института Лауэ-Ланжевена в Гренобле (ILL). Очевидно, эта презентация озадачивает публику, мало привыкшую видеть, как математические поверхности крутятся как угодно.
Две картонные таблицы, видимые на переднем плане, позволили представить всю последовательность моделей в их логическом порядке. Зеленая и желтая модели иллюстрируют в полиэдральной форме существенный инструмент создания-растворения пары каспидальных точек. Более далекий белый объект — это полиэдральная версия поверхности скрещенного колпака, которая сначала превращается в полиэдральную версию римской поверхности Штейнера, а затем, на метр дальше, по желанию, в «правую» или «левую» поверхность Буа.
Анализ моделей вызывает различные замечания у публики. Один из геометров спрашивает:
— Если верно, что, следуя за моделями в этом порядке, можно перейти от поверхности скрещенного колпака к поверхности Буа, то, похоже, что, следуя обратной процедуре, можно превратить поверхность Буа в скрещенный колпак.
Отвечаю утвердительно. Осмелев, мой собеседник добавляет:
— Тогда, если на стадии римской поверхности Штейнера остановиться, должно быть возможно вернуться к поверхности Буа, но отраженной по отношению к исходной.
Соглашаюсь во второй раз. Но, к сожалению, никто не предложит дать какие-либо разъяснения об этом странном мире, в котором погружениям замкнутых поверхностей разрешается иметь каспидальные точки, создаваемые или растворяемые парами, совокупность которых составляет своего рода расширение мира погружений. Термин «субмерсия» кажется мне подходящим. Если какой-нибудь читатель способен дать разъяснения, добро пожаловать.
Кривизна, сосредоточенная в каспидальной точке.
Мы вычислим ее, суммируя углы при вершине и сравнивая эту сумму с результатом, получаемым в случае евклидовой плоскости: 2π.
Вверху слева вы можете видеть одно из многих возможных полиэдральных представлений каспидальной точки. «Разбирая» поверхность, мы приходим к сумме углов, которая превышает значение 2π на 2α. Отсюда следует, что угловая кривизна, сосредоточенная вокруг этой точки C, равна −2α. Если угол α равен π/2, то отрицательная кривизна равна −π (рисунок внизу слева). В действительности кривизна каспидальной точки может принимать бесконечные значения. Внизу справа мы усиливаем угловую сумму, и кривизна тогда становится < −π (мы увеличили отрицательную кривизну).
Действуя в обратном порядке, мы можем прийти к довольно удивительной ситуации: мы можем сделать так, чтобы кривизна (угловая), сосредоточенная в C, была... нулевой:
Теперь начнем с полиэдрального представления поверхности скрещенного колпака, в котором фигурируют две каспидальные точки, каждая с кривизной, равной −π:
На этом рисунке есть восемь «позиконов» соответствующего значения +π/2. Добавим четыре других «позикона» кривизны +π/4 и четыре «негакона» кривизны −π/4.
Плюс две каспидальные точки кривизны −π.
Итого: 2π
Разделив значение этой «полной кривизны» на 2π, мы снова находим значение эйлерово-пуанкаревой характеристики любого представления проективной плоскости (или поверхности Буа).
В ходе конференции я упомянул искусство и способ переставлять две каспидальные точки поверхности скрещенного колпака с использованием выворачивания сферы. Я уже не помню, поместил ли я эту вещь куда-нибудь на своем сайте. Это такая путаница. Нужно будет поискать, иначе я добавлю. Это забавно. Дело в том, что эта операция совсем не понравилась одному из присутствовавших на семинаре:
— Не вижу, почему Пети использует столько снаряжения, чтобы доказать симметрию, связывающую две каспидальные точки скрещенного колпака. Можно сделать гораздо проще.
И он нарисовал на доске сферу, сжатую между двумя соприкасающимися линейками, что действительно дает множество самопересечения в форме отрезка, на концах которого находятся две каспидальные точки, как у поверхности скрещенного колпака. К сожалению, и господин это заметил, это не поверхность скрещенного колпака.
— Черт, но что же это тогда? — спросил кто-то.
Это просто погружение сферы с двумя каспидальными точками. Если заставить их сойтись в одну точку, получается линия самопересечения, которая становится окружностью. И получается (внизу справа) погружение сферы, которое нам остается только превратить в ее стандартное вложение. Мы можем также дать полиэдральное представление этой поверхности:
Речь идет о двусторонней поверхности, полная кривизна которой равна 2π.
В общем, с этими «субмерсиями» можно изрядно позабавиться. Рассмотрим погружение тора, полученное вращением символа «бесконечности» вокруг оси:
Техника сведения каспидальных точек в одну точку позволяет нам быстро прийти к стандартному вложению тора, как объяснено выше на последовательных рисунках.
Но вещи не всегда оказываются такими легкими и очевидными. Возьмем, например, сферу, сжатую между двумя отрезками, которые на этот раз короче диаметра. Мы снова получаем две каспидальные точки.
Поскольку эта поверхность содержит ленту Мёбиуса, она односторонняя. Рядом мы поместили ее полиэдральное представление, позволяющее вычислить ее полную кривизну. Тогда мы находим ноль. Если я не ошибаюсь, это должна быть бутылка Клейна. О ней обычно знают только классическое погружение, в котором линия самопересечения — простая окружность. Но есть и другие, как эта. Признаюсь, что я еще не нашел способа превратить ее в обычную бутылку Клейна. С другой стороны, я не знаю даже, находятся ли это «погружение» и классическое в одном и том же классе гомотопии (для сферы, например, он один). A priori это не обязательно: тор, действительно, может быть погружен в трехмерное пространство четырьмя различными способами, которые не могут быть преобразованы один в другой посредством регулярной гомотопии. В ожидании открытия, возможно ли это в данном случае или нет, я позабавился, преобразовав ее, создав еще две каспидальные точки, получив таким образом два скрещенных колпака, соединенных трубой. Разлагая их, обнаруживается, что эйлерово-пуанкарева характеристика равна нулю.
Эта странная поверхность должна превратиться в одно из 4 возможных погружений бутылки Клейна, но в какое? В любом случае, вот одно из них, полученное вращением восьмерки вокруг оси, в то время как она сама тем временем совершает пол-оборота вокруг себя:
Вернуться к указателю «Превращение скрещенного колпака в Буа»
Вернуться к разделу «Новости» Вернуться к разделу «Путеводитель» Вернуться на главную страницу
Число посещений с 25 ноября 2004: