Итальянский
: Андреа Самбусетти, Римский университет
Нажмите здесь, чтобы отобразить чертёж модели в масштабе 1:1 для печати и вырезания.
Скопировав четыре экземпляра на картоне двух разных цветов,
вы сможете собрать модель самостоятельно,
следуя инструкциям по сборке.
Вы наверняка видели странный объект, неустанно вращающийся в левой части главной страницы этого сайта. Что это такое?
Однажды, когда у меня найдётся время, я размещу на этом сайте описание выворачивания сферы, так как я его иллюстрировал в номере журнала Pour la Science за январь 1979 года, то есть... 22 года назад! Это потребует множества подробностей и введения. Что значит «вывернуть сферу»? Для обычного человека и для математика-геометра сфера имеет разное значение. Для обычного человека это просто множество точек пространства, находящихся на расстоянии R от заранее заданной точки O. Геометр же будет называть «сферой» и объект, соответствующий «деформированной сфере», например, картофелину. Чтобы точнее понять эти понятия, приобретите компакт-диск Lanturlu, содержащий комикс «Топологикон».
Но математик идёт ещё немного дальше. Поверхность называется «регулярной», если в каждой её точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет думать о бесконечном множестве возможных регулярных деформаций сферы, принимающих бесконечное множество форм картофелины, при этом произвольно меняя площадь такой поверхности. При этом в нашем физическом мире человек, пытающийся вывернуть сферу (то есть вывести её внутреннюю поверхность наружу), столкнётся с невозможностью самопересечения её поверхности. Когда принимается это предположение, то есть запрещается самопересечение поверхности или даже просто её «касание», математик говорит о вложении (embedding) сферы S2. Но математик всегда позволяет себе всё. Для него сфера — это «виртуальный», а не материальный объект, в котором пересечение слоёв считается возможным. Последовательность рисунков ниже показывает сферу, самопересекающуюся. Такое представление, допускающее самопересечения, называется погружением (immersion).
Погружение, следовательно, имеет множество самопересечений (в данном случае это простая окружность). Однако касательная плоскость должна изменяться непрерывно. С учётом этого, если посмотреть на рисунок выше, хорошо видно, что операция выводит часть внутренней поверхности (показана зелёным цветом) наружу. Чтобы завершить выворачивание, нужно было бы сжать этот своего рода экваториальный «кишечник». Здесь, по-видимому, возникает проблема: такое сжатие разрушило бы непрерывность касательной плоскости, и поэтому данное преобразование содержало бы шаг, не являющийся погружением.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что «сфера S2 имеет единственный класс погружений». Из этого таинственного утверждения следовало, что можно перейти от «стандартной» сферы к её «антиподальному» представлению (в котором каждая точка меняется на свою антиподальную), то есть, проще говоря... к вывернутой сфере, посредством преобразования, содержащего только истинные погружения. Рауль Ботт был руководителем Смейла. Хотя формальное доказательство этого факта казалось верным, никто, по-видимому, не мог реально осуществить эту операцию выворачивания. Ботт продолжал спрашивать Смейла: «Покажите мне, как бы вы собирались это сделать»; на что Смейл, известный своей прямотой, отвечал: «У меня нет ни малейшего представления». Позже Смейл получил Филдсовскую премию, эквивалент Нобелевской премии в математике. Кстати, вы, возможно, зададитесь вопросом, почему не существует Нобелевской премии по математике. Ответ прост: его жена сбежала с математиком.
Такое положение дел сохранялось довольно долго, пока американский математик Энтони Филлипс не опубликовал в 1967 году в журнале Scientific American первую версию этого выворачивания, крайне сложную. Вторая версия была изобретена в начале 1970-х годов французским математиком (слепым) Бернаром Мореном. Я был первым, кто нарисовал последовательность преобразований, которая, как я уже анонсировал, станет темой будущей статьи на этом сайте, и без того уже богатом материалами. Тем не менее, всё это приводит нас к одному замечанию. Поверхности можно представлять в многогранной форме. Куб или тетраэдр можно рассматривать как многогранные представления сферы, в том смысле, что эти объекты имеют одинаковую топологию. По этому поводу обратитесь к моему «Топологикону». Кроме того, понятно, что если сферу можно вывернуть, то можно вывернуть и куб. Преобразование, изобретённое Бернаром Мореном (которое я иллюстрировал в статье за январь 1979 года в журнале Pour la Science), проходит через центральную модель. В этой последовательности есть симметрия. Это то, что я называю «центральной моделью с четырьмя ушами». Я забегаю вперёд. Однако, подобно тому как сфера допускает многогранные представления, то же самое верно и для последующих шагов этого преобразования. То, что вы видите вращающимся на моей главной странице, — это многогранная версия центральной модели выворачивания сферы, которую я изобрёл около десяти лет назад. Интерес таких многогранных моделей заключается в том, что их можно строить из плоских поверхностей. Их также можно изготовить из бумаги и ножниц. Взгляните на рисунок ниже (в скобках благодарю моего друга Кристофа Тарди, который подготовил элементы нужного размера).
Это чертёж сборки, общий вид которого вы видите здесь. Но для печати лучше перейти на страницу раскроя. Распечатайте её. Затем, имея этот экземпляр, распечатанный на обычной бумаге вашего принтера, сделайте 4 идентичные копии: две на зелёном картоне и две на жёлтом. С помощью этих листов для вырезания вы сможете собрать центральную модель выворачивания куба.
На элементах для вырезания есть пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Достаточно согнуть лист, совмещая одинаковые буквы, а затем закрепить грани прозрачным скотчем. Следующие рисунки показывают способ сборки одного из четырёх элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырёх элементов:
Вот два из четырёх элементов, вид с разных углов.
Затем их располагают так, чтобы получился объект с симметрией четвёртого порядка, в котором чередуются зелёные и жёлтые элементы. Чтобы увидеть его в 3D, загляните в реализацию Тарди в разделе «виртуальная реальность». Центральная модель собрана и также реализована в формате «vrml» в этом разделе. Вот она, показанная с разных точек зрения:
Нельзя сказать, что одна точка зрения соответствует «верху», а другая — «низу», поскольку эти обозначения совершенно произвольны. На левом изображении «центральная» точка соответствует «двойной точке» (где пересекаются два слоя) центральной модели Морена, тогда как центральная точка правого изображения соответствует «четверной точке» той же модели (где пересекаются четыре слоя). Мне пришлось очень внимательно ориентировать объект, чтобы левая фигура не напоминала свастику. Кроме того, с архитектурной точки зрения это многогранное представление центральной модели Морена могло бы стать прекрасным проектом Дома национальной социалистической культуры.
Последнее замечание: не существует хорошего многогранного представления выворачивания сферы (то есть куба). Под «хорошим» я понимаю последовательность достаточно явных моделей, которые можно описать в виде относительно простых листов для вырезания, как модель выше. В этом направлении можно провести исследование, доступное каждому, даже не-математику, например, скульптору. Более двадцати лет назад я преподавал скульптуру в Высшей школе изящных искусств в Экс-ан-Провансе, когда директором был мой дорогой друг Жак Булье. Именно в этих стенах появилось первое меридиональное представление поверхности Боя с помощью эллипсов, ключевое для построения первого неявного уравнения, данного Аперри. Должен сказать, что уже тогда меня поразило геометрическое воображение студентов-художников, которое часто превосходило воображение... геометров.
Счётчик установлен 31 декабря 2001 года. Количество посещений: