Топологическая сфера математические модели
Итальянский: Андреа Самбусетти, университет Рима
Нажмите здесь, чтобы увидеть чертеж модели в масштабе 1:1, который можно распечатать и вырезать.
Распечатав четыре экземпляра на картоне разного цвета,
вы сами сможете собрать модель,
следуя инструкциям по сборке
Вы, наверное, видели, как странный объект непрерывно вращается на левой стороне начальной страницы этого сайта. О чем это?
Однажды, когда у меня будет время, я установлю на этом сайте описание переворачивания сферы, как я это показал в номере Pour la Science января 1979 года, то есть... 22 года назад! Все это потребует многих деталей и введения. Что означает "перевернуть сферу"? Для обычного человека сфера — это просто множество точек пространства, находящихся на расстоянии R от заданной точки O. Геометр, однако, будет называть "сферой" и объект, который соответствует "деформированной сфере", например, картофелине. Чтобы лучше понять эти понятия, приобретите диск Lanturlu, содержащий комикс "Topologicon". Но математик идет немного дальше. Поверхность называется "регулярной", если в каждом из ее точек можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет думать о бесконечном количестве возможных регулярных деформаций сферы, в бесконечных возможных формах картофеля, изменяя при этом произвольно площадь этой поверхности. Сказано это, в нашем физическом мире человек, пытающийся перевернуть сферу (привести ее внутреннюю поверхность наружу), столкнется с невозможностью сделать так, чтобы его поверхность сама себя пересекала. Когда принимается эта гипотеза, то есть запрещено, чтобы поверхность пересекала сама себя или даже просто касалась, математик говорит об "вложении" сферы S2. Но математик всегда может позволить себе все. Сфера для него — "виртуальный" объект, а не материальный, где пересечение листа считается возможным. Последовательность рисунков ниже показывает сферу, которая сама себя пересекает. Такая представление, допускающее самопересечения, называется "погружением".
Погружение, таким образом, имеет набор самопересечений (здесь это просто круговая кривая). Однако касательная плоскость должна меняться непрерывно. Предварительно сказано, когда смотрите на рисунок выше, вы видите, что операция переносит часть внутренней поверхности (показанной зеленым) наружу. Чтобы завершить переворот, нужно сжать этот экваториальный "кишечник". Здесь кажется, что возникает проблема: такой сжатие разрушит непрерывность касательной плоскости, и такое преобразование будет содержать шаг, который не является погружением.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что "сфера S2 имеет только один класс погружений". Эта загадочная фраза имела следствием то, что можно было перейти, через преобразование, содержащее только настоящие погружения, от "стандартной" сферы к ее "антиподальной" представлению, то есть в котором каждый пункт меняется на свой антиподальный: другими словами... перевернутая сфера. Рауль Ботт был руководителем Смейла. Хотя формальное доказательство этого факта казалось правильным, никто не мог представить конкретную операцию переворота. Ботт продолжал спрашивать у Смейла "покажи, как ты думаешь поступить"; в ответ Смейл, известный своей прямотой, отвечал "у меня нет ни малейшего представления". Позже Смейл получил медаль Филдса, эквивалент Нобелевской премии для математики. Кстати, вы, возможно, задаетесь вопросом, почему нет Нобелевской премии по математике. Ответ прост: его жена сбежала с математиком.
Дело оставалось так в течение долгих лет, пока американский математик Антони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого переворота, чрезвычайно сложную. Вторая была придумана в начале 70-х годов французским математиком (незрячим) Бернаром Морином. Я был первым, кто нарисовал последовательность преобразований, которая станет предметом, как я вам обещал, ближайшей статьи на этом сайте, что, впрочем, уже довольно много. В любом случае, все это приводит нас к мысли. Поверхности могут быть представлены в виде многогранников. Куб или тетраэдр могут быть рассмотрены как многогранные представления сферы, поскольку эти объекты имеют ту же топологию. В этом вопросе, обратитесь к моему Topologicon. Кроме того, понятно, что если возможно перевернуть сферу, то можно и перевернуть куб. Преобразование, придуманное Бернаром Морином (которое я иллюстрировал в статье января 1979 года в Pour la Science), проходит через центральный модель. Существует симметрия в этой последовательности. Это то, что я называю "центральной моделью с 4 ушами". Я предвожу некоторые вещи. В любом случае, так как сфера подходит для многогранных представлений, то же самое верно и для следующих шагов этой трансформации. То, что вы видите вращающимся на моей начальной странице, это многогранная версия центральной модели переворота сферы, которую я придумал около десяти лет назад. Интерес таких многогранных моделей в том, что их можно построить с плоскими поверхностями. Их также можно построить из бумаги и ножниц. Посмотрите на рисунок ниже (спасибо в скобках моему другу Кристофу Тарди, который изготовил элементы правильного размера).
Это общий вид сборки. Но для печати лучше перейти на страницу вырезания. Распечатайте. Затем, имея этот экземпляр, распечатанный на обычной бумаге вашей принтера, сделайте 4 одинаковых копии, две на зеленом картоне, и две на желтом. Вы сможете, используя эти вырезанные листы, построить центральную модель переворота куба.
На вырезаемых элементах есть пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Достаточно согнуть лист, совместив одинаковые буквы, и закрепить грани прозрачным скотчем. Ниже приведены рисунки, показывающие способ сборки одного из четырех элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырех элементов:
Вот два из четырех элементов, видимые с разных углов.
Затем они устанавливаются так, чтобы образовать объект с симметрией четвертого порядка, в котором чередуются зеленые и желтые элементы. Чтобы увидеть это в 3D, посмотрите на реализацию Тарди, в разделе "виртуальная реальность". Центральная модель установлена и также реализована в "vrml" в этом разделе. Вот она, воспроизведенная с различных точек зрения :
Нельзя сказать, что одна точка зрения соответствует "верху", а другая — "низу", поскольку эти названия полностью произвольны. На левом изображении "центральная" точка соответствует "двойной точке" (в c...