Топологическая сфера математические модели
Итальяно: Андреа Самбусетти, университет Рима
Нажмите здесь, чтобы увидеть чертёж модели в масштабе 1:1, который можно распечатать и вырезать.
Распечатав четыре экземпляра на картоне бриллиантового цвета разных цветов,
вы сами сможете собрать модель,
следуя инструкциям по сборке
Вы, наверное, видели, как неустанно вращается странный объект на левой стороне начальной страницы этого сайта. О чём речь?
Однажды, когда я найду время, я установлю на этом сайте описание переворачивания сферы, как я это показал в выпуске Pour la Science января 1979 года, то есть... 22 года назад! Это потребует многих деталей и введения. Что означает "перевернуть сферу"? Для обычного человека сфера — это просто множество точек пространства, находящихся на расстоянии R от фиксированной точки O. Геометр же по-прежнему будет называть "сферой" объект, соответствующий "деформированной сфере", например, картофелине. Чтобы лучше понять эти понятия, приобретите диск Lanturlu, содержащий комикс "Topologicon". Но математик идёт ещё дальше. Поверхность называется "регулярной", если в каждом её точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет думать о бесконечном количестве возможных регулярных деформаций сферы, в бесконечных возможных формах картофелины, при этом дополнительно произвольно изменяя площадь этой поверхности. Однако, в нашем физическом мире человек, пытающийся перевернуть сферу (привести её внутреннюю поверхность наружу), столкнётся с невозможностью самопересечения своей поверхности. Когда принимается эта гипотеза, то есть запрещено самопересечение поверхности или даже просто её "касание", математик говорит об "вложении" сферы S2. Но математик всегда может всё. Сфера для него — "виртуальный" объект, а не материальный, где пересечение листа считается возможным. Последовательность рисунков ниже показывает сферу, самопересекающуюся. Такая представление, допускающая самопересечения, называется "погружением".
Погружение, таким образом, имеет набор самопересечений (здесь это просто круговая кривая). Однако касательная плоскость должна меняться непрерывно. Предварительно, когда вы смотрите на рисунок выше, вы видите, что операция переносит часть внутренней поверхности (показанной зелёным) наружу. Для завершения переворота, нужно сжать этот экваториальный "кишечник". Здесь, кажется, возникает проблема: такой сжатие разрушит непрерывность касательной плоскости, и поэтому такое преобразование будет содержать шаг, который не является погружением.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что "сфера S2 имеет единственное множество погружений". Эта загадочная фраза подразумевала, что, используя преобразование, содержащее только настоящие погружения, можно перейти от "стандартной" сферы к её "антиподальной" представлении, то есть, когда каждый пункт меняется на свой антиподальный: другими словами... перевернутая сфера. Рауль Ботт был руководителем Смейла. Хотя формальное доказательство этого факта казалось правильным, никто не мог представить конкретно эту операцию переворота. Ботт продолжал спрашивать у Смейла: "покажи, как ты бы это сделал"; на что Смейл, известный своей прямотой, отвечал: "у меня нет ни малейшего представления". Позже Смейл получил медаль Филдса, эквивалент Нобелевской премии по математике. Кстати, вы, возможно, задаётесь вопросом, почему нет Нобелевской премии по математике. Ответ прост: его жена сбежала с математиком.
Дело оставалось так в течение долгих лет, пока американский математик Антони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого переворота, чрезвычайно сложную. Вторая была придумана в начале 70-х годов французским математиком (слепым) Бернаром Морином. Я был первым, кто нарисовал последовательность преобразований, которая станет предметом, как я объявил, ближайшей статьи на этом сайте, который, кстати, уже довольно насыщен. В любом случае, всё это приводит нас к мысли. Поверхности могут быть представлены в виде многогранников. Куб или тетраэдр могут быть рассмотрены как многогранные представления сферы, в том смысле, что эти объекты имеют ту же топологию. В этом вопросе, обратитесь к моему Topologicon. Кроме того, понятно, что если возможно перевернуть сферу, то можно перевернуть и куб. Преобразование, придуманное Бернаром Морином (которое я иллюстрировал в статье января 1979 года в Pour la Science), проходит через центральный модель. Существует симметрия в этой последовательности. Это то, что я называю "центральной моделью с 4 ушами". Я немного ускоряю события. В любом случае, так как сфера подходит для многогранных представлений, то же самое верно и для следующих шагов этого преобразования. То, что вы видите вращающимся на моей начальной странице — это многогранная версия центральной модели переворота сферы, которую я придумал около десяти лет назад. Интерес таких многогранных моделей в том, что их можно построить с плоскими поверхностями. Их также можно построить из бумаги и ножниц. Посмотрите на рисунок ниже (спасибо, в скобках, моему другу Кристофу Тарди, который изготовил элементы правильного размера).
Это схема сборки, которую вы можете увидеть здесь в общем виде. Но для печати лучше перейти на страницу "раскрой". Распечатайте. Затем, используя этот экземпляр, распечатанный на обычной бумаге вашей принтера, распечатайте 4 идентичных копии, две на зеленом картоне бриллиантового цвета, и две на желтом. Вы сможете построить центральную модель переворота куба, используя эти вырезанные листы.
На вырезаемых элементах есть пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Достаточно согнуть лист, совместив одинаковые буквы, а затем зафиксировать лицевые стороны прозрачным скотчем. Ниже приведены рисунки, показывающие, как собирать один из четырех элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырех элементов сначала:
Вот два из четырех элементов, видимые с разных углов.
Затем они устанавливаются так, чтобы образовать объект с симметрией четвертого порядка, в котором чередуются зелёные и желтые элементы. Чтобы увидеть его в 3D, посмотрите на реализацию Тарди в разделе "виртуальная реальность". Центральная модель собрана и также реализована в "vrml" в этом разделе. Вот как она представлена с разных точек зрения :
Невозможно утверждать, что одна точка зрения соответствует "верху", а другая — "низу", поскольку эти названия полностью произвольны. На левом изображении "центральная" точка соответствует "двойной точке" (в c...