Преобразование Кросс-Кап в поверхность Боя, через поверхность Стейнера-Римская
Как превратить Кросс-Кап в поверхность Боя (левую или правую, по выбору), пройдя через поверхность Стейнера-Римская.
**27 сентября - 25 октября 2003 **
Страница 2
Вот Кросс-Кап (такой, как вы могли увидеть в изображениях виртуальной реальности). У нее есть два куспидальных точки, окружающие линию самопересечения. Ее можно изготовить, сжав воздушный шар с помощью утюга. Но вы также можете построить ее многогранные представления. Ниже мы особенно заинтересованы в этом.
На этом листе 4 находится самый сложный момент для понимания. Мне кажется, что почти невозможно, чтобы кто-нибудь понял эти фигуры, просто глядя на рисунки. Сделайте эти модели. В общем, мы тянем куспидальную точку C2 внутрь поверхности (что, впрочем, не имеет смысла, поскольку, как вы, наверное, сразу заметили, Кросс-Кап - это односторонняя поверхность. При настойчивом давлении поверхность самопересекается, и множество самопересечений дополняется, в "римской" форме, кривой в виде восьмерки. В этот момент появляется тройная точка T.
Поверхность становится более понятной в своей многогранной форме, и внизу мы увеличили некоторые элементы, чтобы показать, что заставляет нас преобразовать этот объект в поверхность Стейнера-Римская (см. виртуальную реальность), самая простая многогранная форма которой состоит в соединении четырех кубов (здесь видно только три из них).
Лист 5: слева многогранник, справа "римская" форма. Стрелка проходит через проход, который мы "сожмем". Внизу начало сжатия.
Лист 6: сжатие выполнено путем создания особой точки B. На самом деле, так как мы сжимаем с двух сторон, чтобы сэкономить время; образуются две особые точки S1 и S1, а также две пары куспидальных точек. Здесь, без бумаги, ножниц и скотча, вы в беде.
Лист 7: мы просто переместили различные куспидальные точки. Если точка C2 "очевидна", вы немного постараетесь, чтобы определить точки C3 и C4 как куспидальные. Они все же присутствуют на конце линии самопересечения. Над точкой C3 находится просто то, что я назвал "позикоином", точкой концентрации положительной кривизны (точка концентрации отрицательной кривизны - это "негакоин"). При небольшом деформировании этого объекта вы получаете многогранную форму поверхности Стейнера-Римская (поверхность 4-го порядка, придуманная Стейнером в Риме. См. его представление в виртуальной реальности).
Итак, дело сделано. Существует разные типы поверхностей, в зависимости от правил, которые мы устанавливаем. Поверхности, которые не пересекаются сами с собой, называются погружениями (сферы, тора в R3). Когда они пересекаются, но касательная плоскость непрерывно изменяется, их называют погружениями. Пример: бутылка Клейна в ее классическом представлении. В R3 не существует представления бутылки Клейна в виде погружения. Она обязательно пересекается сама с собой. Погружения имеют множества самопересечений без куспидальных точек. Эти кривые непрерывны, но могут пересекаться в точках двойного или тройного пересечения. Примечание: сфера может быть представлена как погружение, просто пересекая сама себя. Это как раз таки каким образом достигается ее переворот (A. Phillips, 1967, с центральной стадией двойного покрытия поверхности Боя; B. Morin и J. P. Petit, 1979, с центральным моделью четырех ушей Морина, ниже представлена многогранная модель, которую я придумал около десяти лет назад.
План сборки этого объекта с помощью вырезания
Если мы расширим правила, предположив, что эти объекты имеют куспидальные точки, мы получаем погружения (Кросс-Кап, Поверхность Стейнера-Римская). Я не знаю, является ли это точным словом, но так как я не нашел математика, который мог бы меня осветить, я нашел забавным придумать его, временно, пока не появится эксперт-геометр. Таким образом, Кросс-Кап и Поверхность Стейнера-Римская будут погружениями "проективной плоскости".
Во всяком случае, после моих трудностей в области МГД в течение двадцати пяти лет я начал эти работы, потому что они казались мне максимально далекими от любой военной цели. Но, как заметил мой старый друг Михн, слово "погружение" может ввести в заблуждение и дать понять военно-морскому флоту, что через эти исследования я пытаюсь скрыть какой-либо прогресс в подводной тяге.
Правило "создания-уничтожения" пар куспидальных точек позволяет перейти от одного погружения объекта к другому, и именно это мы только что сделали, показав, что Кросс-Кап и Поверхность Стейнера-Римская являются двумя погружениями одного и того же объекта, называемого проективной плоскостью. Не пытайтесь представить, как выглядит "проективная плоскость". Этот объект можно понять только через его различные представления. Что касается слова "проективная плоскость", то это просто одно из тысяч слов, придуманных математиками, чтобы запутать тех, кто хочет проникнуть в их закрытый круг. Словарь Ларусс не поможет вам в математике.
Нам остается перейти к поверхности Боя, которая является погружением проективной плоскости
Предыдущая страница Следующая
страница
Вернуться к оглавлению "Преобразование Кросс-Кап в Бой"
Вернуться
к руководству Вернуться
на главную страницу
Количество просмотров с 25 октября 2003 :
Изображения
