Преобразование Кросс-Кап в поверхность Боя, через поверхность Стейнера-Римская
Как превратить Кросс-Кап в поверхность Боя (левую или правую, по вашему выбору), пройдя через поверхность Стейнера-Римская.
27 сентября - 25 октября 2003
страница 2
Вот Кросс-Кап (такой, как вы его обнаружили на изображениях виртуальной реальности). У нее есть два куспидальных точки, которые ограничивают линию самопересечения. Ее можно изготовить, сжав воздушный шар с помощью утюга. Но вы также можете построить ее многогранные представления. Нам особенно интересна нижняя.
На этом листе 4 находится самый сложный момент для понимания. Мне кажется почти невозможным, чтобы кто-нибудь понял эти фигуры, просто глядя на рисунки. Постройте эти модели. То есть, тянем куспидальный пункт C2 внутрь поверхности (что, впрочем, не имеет смысла, поскольку, как вы, наверное, сразу заметили, Кросс-Кап - это односторонняя поверхность. Если настаивать, поверхность самопересекается, и множество самопересечений дополняется, в "ролл-карте", кривой в виде восьмерки. В процессе появляется тройная точка T.
Поверхность более понятна в своей многогранной форме, и внизу мы увеличили некоторые элементы, чтобы показать, что заставляет нас превратить этот объект в поверхность Стейнера-Римская (см. виртуальную реальность), самая простая многогранная форма которой состоит в том, чтобы собрать четыре куба (здесь видно только три).
Лист 5: многогранник слева, ролл-карта справа. Стрелка проходит через проход, который мы будем "сжимать". Внизу начало сжатия.
Лист 6: сжатие выполнено, создавая особую точку B. На самом деле, так как мы сжимаем с двух сторон, чтобы сэкономить время; образуются две особые точки S1 и S1, а также две пары куспидальных точек. Там, без бристаля, ножниц и скотча, вы в беде.
Лист 7: просто переместили различные куспидальные точки. Если точка C2 "очевидна", вы немного постараетесь, чтобы определить точки C3 и C4 как куспидальные. Они все же присутствуют на конце линии самопересечения. Над точкой C3 просто находится то, что я назвал "позикоин", точка концентрации положительной кривизны (точка концентрации отрицательной кривизны - это "негакоин"). Если немного деформировать этот объект, вы получите многогранную форму поверхности Стейнера-Римская (поверхность 4-го порядка, изобретенная Стейнером в Риме. См. его представление в виртуальной реальности).
Итак, дело сделано. Существует различные типы поверхностей, в зависимости от правил, которые мы устанавливаем. Поверхности, которые не пересекаются сами себя, называются погружениями (сферы, тора в R3). Когда они пересекаются, но касательная плоскость непрерывно меняется, их называют погружениями. Пример: бутылка Клейна в ее классическом представлении. Не существует в R3 представления бутылки Клейна в виде погружения. Она обязательно пересекает сама себя. Погружения имеют множества самопересечений без куспидальных точек. Эти кривые непрерывны, но могут пересекаться в точках двойного или тройного пересечения. Заметка: сфера может быть представлена как погружение, просто пересекая сама себя. Это как раз таки каким образом достигается ее переворот (A. Phillips, 1967, с центральной стадией двойного покрытия поверхности Боя; B. Morin и J. P. Petit, 1979, с центральным моделью четырех ушей Морина, ниже представлена многогранная модель, которую я придумал около десяти лет назад.
План сборки этого объекта с помощью вырезания
Если расширить правило игры, предположив, что эти объекты имеют куспидальные точки, мы получаем погружения (Кросс-Кап, Поверхность Стейнера-Римская). Я не знаю, является ли это точным словом, но так как я не нашел ни одного математика, который мог бы меня осветить, я нашел забавным придумать его, временно, пока не появится эксперт-геометр. Таким образом, Кросс-Кап и Поверхность Стейнера-Римская будут погружениями "проективной плоскости".
Во всяком случае, после моих неудач в области МГД в течение двадцати пяти лет я начал эти работы, потому что они казались мне максимально далёкими от любой военной цели. Но, как заметил мой старый друг Михн, слово "погружение" может ввести в заблуждение и подразумевать, что через эти исследования я пытаюсь скрыть какой-то прогресс в подводной тяге.
Правило "создания-уничтожения" пар куспидальных точек позволяет перейти от погружения одного объекта к другому, и именно это мы только что сделали, показав, что Кросс-Кап и Поверхность Стейнера-Римская являются погружениями одного и того же объекта, называемого проективной плоскостью. Не пытайтесь представить, как выглядит "проективная плоскость". Этот объект можно понять только через его различные представления. Что касается слова "проективная плоскость", то это всего лишь одно из тысяч слов, придуманных математиками, чтобы запутать тех, кто хочет проникнуть в их закрытый круг. Словарь Ларусс не поможет вам в математике.
Нам остается перейти к поверхности Боя, которая является погружением проективной плоскости
Предыдущая страница Следующая страница
Вернуться к оглавлению "Преобразование Кросс-Кап в Боя"
Вернуться к руководству Вернуться на главную страницу
Количество просмотров с 25 октября 2003 г. :
Изображения
