Преобразование кросскап в поверхность Боя, через римскую поверхность Стейнера
Как превратить кросскап в поверхность Боя (левую или правую, по выбору), пройдя через римскую поверхность Стейнера.
27 сентября 2003
Страница 4
Теперь модель представлена с другой стороны:
Плакат 14: Повторяем ту же операцию, создавая третью "ушко" кривой самопересечения. В полигоне она имеет форму трех квадратов, имеющих общий вершину: точку тройного пересечения T.
Плакат 15: поворачивая объект, вы найдете полигональную версию поверхности Боя, которую я предложил и представил в Topologicon (где есть вырезка, позволяющая ее построить).
Последний плакат: я попытался изобразить поверхность Стейнера (четвертой степени, тогда как Боя - шестой) в процессе деформации и превращения в поверхность Боя.
Видно, что в "круге" требуется значительная привычка, чтобы понять объект. Наш глаз очень неуютно чувствует себя, когда приходится понимать объект, где на одной линии зрения накладываются более двух слоев. Поэтому полигон имеет огромное значение, так как делает доступными для обычных людей преобразования, которые считаются сложными в геометрии, поскольку люди делают усилие, чтобы построить модели сами. При этом замечено, что в зависимости от выбранных пар куспидальных точек получается "правая" или "левая" поверхность Боя (слова полностью произвольны). Проективная плоскость погружается в двух "энантиоморфных" представлениях, в зеркальном отражении. Видно, что можно перейти от правой Боя к левой Боя через модель "центральную", которая является римской поверхностью Стейнера.
Было бы, наверное, приятно, если бы такие рисунки были опубликованы в Pour la Science или La Recherche. Но в течение двадцати лет я "запрещен" публиковаться в этих журналах из-за овнистской диверсии. Спасибо вам, господа Герве Тис и Филипп Буленжер. Я не могу сосчитать количество статей такого рода, которые я отправил этим журналам и которые мне вежливо вернули. В конце концов, привыкаешь к своему статусу изгоя.
В качестве анекдота, в Франции существует "премия Аламбера", предназначенная для награждения авторов книг по популяризации математики. История была рассказана мне членом комиссии, ответственной за определение того, кому должна достаться премия (все же есть немного денег). Диалог:
-
Но в конце концов, не могли бы мы присудить премию Пети? Он написал замечательные работы, такие как Géométricon, le Trou Noir и le Topologicon.
-
Да, но он написал не только эти альбомы.
-
На что вы намекаете?
-
Он также написал Mur du Silence.
-
А, в таком случае...
Да, Mur du Silence, выпущенный в 83, это альбом, посвященный МГД. И, как известно, эта сульфитная наука обладает способностью, или, скорее, хитростью, позволять летающим тарелкам развиваться со сверхзвуковой скоростью, не производя взрыва.
Скройте эту науку, я не могу ее видеть
У меня есть в запасе версию "переворачивания куба", прекрасную с центральной моделью невероятной красоты, которая не является полигональной версией варианта Морина. Все это мое. Однажды...
22 октября 2003: На этих страницах не теснятся, если верить показаниям счетчика. Я дал в понедельник, 13 октября 2003 года, семинар в Центре математики и информатики (CMI) в Марселе (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) по приглашению Тротмана. В ходе этого я выставил коллекцию около тридцати картонных моделей, которые в ближайшее время вы увидите впервые, поскольку их сфотографировал Кристоф Тарди.
Когда выступаешь на семинаре, создается определенная атмосфера. На следующем фото геометр выражает свое недоумение.
На заднем плане часть выставленных моделей. В какой-то момент я задал вопрос:
- Кто из вас уже видел римскую поверхность Стейнера? Поднимите руку.
Ни у кого не было. Я решил, что полезно представить объект, на самом деле виртуальный, на ноутбуке, который я принес, объект, созданный с помощью Кристофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескампа, из Института Лауэ Ланге в Гренобле (ILL). Очевидно, эта презентация сбила с толку аудиторию, которая не привыкла видеть математические поверхности, вращающиеся по своему желанию.
Два картонных щита, видимые на переднем плане, позволили представить последовательность моделей в логическом порядке. Модели "зеленый и желтый" иллюстрируют, в полигональной форме, основной инструмент создания-уничтожения пары куспидальных точек. Самый дальний белый объект - это полигональная версия кросскапа, которая сначала превращается в полигональную версию римской поверхности Стейнера, затем, по желанию, в поверхность Боя "правую" или "левую".
Анализ моделей вызвал различные замечания в аудитории. Один из геометров спросил:
- Если, следуя модели в этом направлении, мы можем перейти от кросскапа к Бой, то, возможно, в обратном направлении мы сможем превратить Бой в кросскап?
Я ответил утвердительно. Осмелившись, мой собеседник добавил:
- Если, достигнув стадии римской поверхности Стейнера, мы остановимся, то сможем вернуться к зеркальной поверхности Боя.
Я снова одобрил. Но к сожалению, никто не предложил объяснить этот странный мир, где поверхности закрытых иммерсий оснащены куспидальными точками, созданными или уничтоженными парами, составляющими своего рода расширение мира иммерсий. Слово "субмерсии" кажется мне подходящим. Если читатель найдет объяснения, они будут приветствоваться.
Кривизна, сосредоточенная в куспидальной точке
Ее рассчитают, суммируя углы в вершине и сравнивая эту сумму с евклидовой суммой: 2 p .
Вверху и слева изображена одна из множественных полигональных представлений куспидальной точки. Разбор объекта (справа) приводит к сумме, превышающей евклидову сумму 2 p на величину 2 a . Таким образом, можно заключить, что угловая кривизна, сосредоточенная около этой точки C, равна - 2 a . Если угол a равен p/2, то отрицательная кривизна равна **c **(рисунок внизу и слева). На самом деле, кривизна, сосредоточенная в куспидальной точке, может принимать бесконечно много значений. Внизу и справа увеличивается угловая сумма, и кривизна становится < 2 a . Увеличивается отрицательная кривизна.
При обратной операции можно получить довольно неожиданную ситуацию: сделать так, чтобы кривизна (угловая), сосредоточенная в C, была ... нулевой:
Теперь можно начать с полигонального представления кросскапа, где есть две куспидальные точки, каждая из которых имеет отрицательную кривизну, равную - p:
Есть восемь "позиционов", соответствующих значению + p/2. Добавим еще четыре "позиционов" с положительной кривизной + p/4 и четыре "негативных позиционов" с отрицательной кривизной - p/4
Плюс две куспидальные точки с кривизной - p.
Всего: 2 p
Разделив эту общую кривизну на 2 p, мы получаем характеристику Эйлера-Пуанкаре...