Преобразование кросскап в поверхность Боя, через римскую поверхность Стейнера
Как превратить кросскап в поверхность Боя (левую или правую, по выбору), пройдя через римскую поверхность Стейнера.
27 сентября 2003
Страница 4
Теперь модель представлена с другой стороны:
Плакат 14: То же самое действие повторяется, создавая третью "ухо" кривой самопересечения. В полигоне она имеет форму трех квадратов с общим вершиной: точка тройного пересечения T.
Плакат 15: поворачивая объект, вы получаете полигонную версию поверхности Боя, которую я предложил и представил в Topologicon (где есть вырезка, позволяющая построить ее).
Последний плакат: я попытался изобразить поверхность Стейнера (четвертой степени, тогда как Бой - шестой) в процессе деформации и превращения в поверхность Боя.
Видно, что в "круговерти" нужно серьезное умение, чтобы понять объект. Наш глаз очень неуютно чувствует себя, когда пытается понять объект, где на одной линии зрения налагаются более двух слоев. Поэтому интерес полигонной формы, которая делает доступной для обычных людей трансформации, считавшиеся сложными в геометрии, поскольку люди делают усилие, чтобы построить модели сами. При этом замечается, что в зависимости от выбранных пар куспидальных точек получается поверхность Боя "правая" или "левая" (слова полностью произвольные). Проективная плоскость погружается в двух "энантиоморфных" представлениях, зеркально. Видно, что можно перейти от правой Боя к левой Боя через модель "центральную", которая является римской поверхностью Стейнера.
Было бы, наверное, приятно, если бы такие рисунки были опубликованы в Pour la Science или La Recherche. Но в течение двадцати лет я "запрещен к публикации" в этих журналах из-за овнистской диверсии. Спасибо вам, господа Герве Тис и Филипп Буленгер. Я не могу считать количество статей такого рода, которые я отправил этим журналам и которые мне вежливо вернули. В конце концов, привыкаешь к своему статусу изгоя.
В качестве анекдота, в Франции существует "премия Алеберта", предназначенная для награждения авторов книг по популяризации математики. История была рассказана мне членом комиссии, ответственной за определение того, кому должна достаться премия (все же есть немного денег). Диалог:
-
Но в конце концов, не могли бы мы присудить премию Пети? Он написал замечательные работы, такие как Géométricon, le Trou Noir и le Topologicon.
-
Да, но он не только это написал.
-
На что вы намекаете?
-
Он также написал Mur du Silence.
-
Ах, в таком случае...
Да, Mur du Silence, выпущенный в 83 году, это альбом, посвященный МГД. И, как известно, эта сомнительная наука обладает способностью, или, скорее, хитростью, позволять летающим тарелкам развиваться со сверхзвуковой скоростью без звукового эффекта.
Скройте эту науку, я не могу видеть
У меня есть в запасе версию "переворота куба", которая великолепна, с прекрасной центральной моделью, которая не является полигонной версией варианта Морина. Все мое. Однажды...
22 октября 2003: На этих страницах не теснятся, если верить показаниям счетчика. Я дал в понедельник 13 октября 2003 года семинар в CMI (Центр математики и информатики в Чато-Гомбер-Марсель) по приглашению Тротмана. В ходе этого я смог выставить коллекцию около тридцати картонных моделей, которые в ближайшее время получат премьеру, поскольку их сфотографировал Кристоф Тарди.
Когда выступаешь на семинаре, создается определенная атмосфера. На следующем фото геометр выражает свою растерянность.
На заднем плане часть выставленных моделей. В определенный момент я задал вопрос:
- Кто из вас уже видел римскую поверхность Стейнера? Поднимите руку.
Ни у кого не было. Я решил, что необходимо представить объект, на самом деле виртуальный, на ноутбуке, который я принес, объект, созданный с помощью Кристофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескемпа, из Института Лауэ-Ланге в Гренобле (ILL). Очевидно, эта презентация сбивает с толку аудиторию, которая не привыкла видеть математические поверхности, летающие волей-неволей.
Два картонных щита, видимые на переднем плане, позволили представить последовательность моделей в логическом порядке. Модели "зеленая и желтая" иллюстрируют, в полигоне, основной инструмент создания-уничтожения пары куспидальных точек. Самый дальний белый объект - это полигонная версия кросскапа, которая сначала превращается в полигонную версию римской поверхности Стейнера, на метр дальше, а затем, по желанию, в правую или левую поверхность Боя.
Анализ макетов вызывает различные замечания в аудитории. Один из геометров спрашивает:
- Если, следуя макету в этом направлении, можно перейти от кросскапа к Бой, то, возможно, в обратном направлении можно превратить Бой в кросскап.
Я отвечаю утвердительно. Вдохновленный, мой собеседник добавляет:
- Если, достигнув стадии римской поверхности Стейнера, остановиться, то можно вернуться к зеркальной поверхности Боя.
Я снова одобряю. Но к сожалению, никто не предложит объяснений об этом странным мире, где поверхности замкнутых погружений снабжены куспидальными точками, созданными или уничтоженными парами, составляющими своего рода расширение мира погружений. Слово "субмersion" кажется мне уместным. Если читатель найдет объяснения, они будут приветствованны.
Кривизна, сосредоточенная в куспидальной точке
Рассчитывается, суммируя углы в вершине и сравнивая эту сумму с евклидовой суммой: 2 p.
Вверху и слева показана одна из множественных полигонных представлений куспидальной точки. Разбор объекта (справа) приводит к сумме, превышающей евклидову сумму 2 p на величину 2 a. Из этого следует, что угловая кривизна, сосредоточенная около этой точки C, равна - 2 a. Если угол a равен p/2, то отрицательная кривизна равна c (рисунок внизу и слева). На самом деле, кривизна, сосредоточенная в куспидальной точке, может принимать бесконечно много значений. Внизу и справа увеличивается угловая сумма, и кривизна должна быть < 2 a. Увеличивается отрицательная кривизна.
При обратной операции можно получить довольно неожиданную ситуацию: сделать так, чтобы кривизна (угловая), сосредоточенная в C, была ... нулевой:
Теперь можно начать с полигонной представления кросскапа, где присутствуют два куспидальных точки, каждая из которых имеет отрицательную кривизну, равную - p:
Есть восемь "позиционов", соответствующих значению + p/2. Добавим еще четыре "позиционов" с положительной кривизной + p/4 и четыре "негациона с отрицательной кривизной - p/4.
Плюс две куспидальные точки с кривизной - p.
Итого: 2 p
Разделив общую кривизну на 2 p, мы получаем характеристику Эйлера-Пуанкаре.