Центральная (многогранная) модель переворачивания куба
Центральная модель переворачивания куба
31 декабря 2001 года
Вы все видели, как неустанно вращается странный объект на левой стороне домашней страницы сайта. О чем идет речь?
Однажды, когда у меня будет время, я установлю на сайте описание переворачивания сферы, как я это иллюстрировал в выпуске января 1979 года журнала "Pour la science", то есть ... 22 года назад. Все это, конечно, потребует множества деталей и введения. Что значит перевернуть сферу? Для обычного человека сфера определяется как множество точек, находящихся на расстоянии R от фиксированной точки O в трехмерном пространстве. Геометр продолжит называть "сферой" объект, который соответствовал бы "деформированной сфере", как бы "картофелине". Чтобы лучше понять все эти концепции, приобретите диск Lanturlu, содержащий комикс "Le Topologicon". Но математик идет еще дальше. Когда поверхность называется "регулярной", в каждой ее точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет представить бесконечное количество деформаций "исходной сферы" в бесконечное количество "картофелей", при этом площадь поверхности может быть любой. Однако, в "физическом мире" человек, деформирующий сферу, столкнется с невозможностью сделать так, чтобы сфера проходила сама через себя. Если такие пересечения или даже касания запрещены, говорят о "погружениях" сферы S2. Но математик имеет все права. Для него сфера - это "воображаемый" объект, где пересечения поверхностей становятся возможными. Ниже приведены рисунки, показывающие сферу, которая "сама себя пересекла". Такую представление сферы называют "вложением".
Вложение имеет набор самопересечений (в данном случае, простую круговую кривую). Касательная плоскость должна непрерывно меняться. Тем не менее, если посмотреть на рисунки выше, можно увидеть, что операция поворачивает часть (показанную зеленым цветом) внутренней части сферы наружу. Чтобы завершить такое переворачивание, нужно "сплющить" этот экваториальный "булочку". На первый взгляд, это кажется проблематичным. Это "сплющивание" нарушит непрерывность касательной плоскости. Таким образом, операция будет включать этап, который не будет вложением.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что "сфера S2 имеет только один класс вложений". Следствием этого загадочного утверждения было то, что можно было бы соединить последовательность вложений сферы, позволяющих перейти от "стандартной сферы" к ее "антиподальной" представлению, то есть, когда все точки были заменены на их антиподы. Другими словами, перевернутая сфера, лицевая и оборотная. Рауль Ботт был наставником Смейла. Несмотря на то, что доказательство последнего было чисто формальным и казалось безупречным, никто не видел, как это реализовать. Ботт постоянно говорил Смейлу: "Покажи, как ты бы это сделал", на что Смейл, с его известным волоском на языке, отвечал: "Я не имею ни малейшего представления". Смейл впоследствии получил медаль Филдса, эквивалентную Нобелевской премии, но для математики. На проходе, вы, возможно, зададитесь вопросом, почему Нобель никогда не хотел создать Нобелевскую премию по математике. Ответ прост: его жена ушла с математиком.
Дело оставалось без изменений на многие годы, пока американский математик по имени Антони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого переворачивания, ужасно сложную. Вторая была придумана в начале 70-х годов французским математиком (слепым) Бернардом Морином. Я был первым, кто нарисовал эту последовательность преобразований, которая, как я уже говорил, станет объектом следующей статьи на сайте, довольно объемной. В любом случае, это приводит нас к дополнительному выводу. Поверхности могут быть представлены в виде многогранников. Куб или тетраэдр могут рассматриваться как многогранные представления сферы, поскольку эти объекты имеют ту же топологию. В этом вопросе обратитесь к моему комиксу "Le Topologicon". Кроме того, понятно, что если возможно перевернуть сферу, то возможно перевернуть и куб. Изобретенное Бернардом Морином преобразование (которое я иллюстрировал в статье января 1979 года журнала "Pour la science") проходит через центральную модель. В этой последовательности есть симметрия. Это называется "моделью с четырьмя ушами". Я опять предвожу. Но так как сфера может быть представлена в виде многогранника, то так же это возможно и для последовательных этапов этих преобразований. Объект, который вы видите вращающимся на моей домашней странице, является многогранным представлением центральной модели переворачивания сферы, модель, которую я придумал около десяти лет назад. Преимущество этих многогранных моделей в том, что их можно построить с использованием плоских поверхностей. Их даже можно разрезать по определенным шаблонам. Посмотрите на следующий рисунок (вместе с этим я благодарю своего друга Кристофа Тарди, который подготовил правильно размеченные элементы).
**Это рисунок, который вы получите на принтере в маленьком формате, не пригодный для использования. **
Чтобы распечатать эту фигуру на листе A4
Затем нужно сделать четыре копии на плотной бумаге A4, две листа одного цвета, две листа другого цвета
Это разрез, который вы можете увидеть в общем виде. Но для печати лучше перейти на страницу разрез. Распечатайте ее. Затем, имея этот распечатанный экземпляр на обычной бумаге вашего принтера, идите в копировальный центр и сделайте четыре точных копии этого рисунка, две на зеленых листах бристаля и две на желтых. С помощью этого разреза вы сможете собрать центральную модель переворачивания куба.
На этих вырезанных элементах вы видите пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Вам нужно просто согнуть их, совместив одинаковые буквы, а затем соединить эти грани прозрачным скотчем. Ниже приведены рисунки, показывающие, как собрать один из четырех элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырех элементов:
Вот два из этих четырех элементов, видимые с разных углов.
Эти элементы затем собираются, образуя объект с симметрией четвертого порядка или чередующийся зеленые и желтые элементы. Чтобы увидеть это в 3D, посмотрите на реализацию мистера Тарди в "virtual reality". Полностью собранный центральный модель также представлен в формате "vrml" в этом разделе. Вот этот объект, видимый с разных углов:
Нельзя сказать, что одно изображение соответствует "верху", а другое - "низу", потому что эти обозначения были бы полностью произвольными. На левом изображении "центральный" пункт соответствует "двойной точке" (где...)