Центральная (многогранная) модель переворачивания куба
Центральная модель переворачивания куба
31 декабря 2001 года
Вы все видели, как неустанно вращается странный объект на левой стороне главной страницы сайта. О чем идет речь?
Однажды, когда у меня будет время, я установлю на сайте описание переворачивания сферы, как я это иллюстрировал в выпуске января 1979 года журнала "Pour la science", то есть... 22 года назад. Все это, конечно, потребует много деталей и введения. Что значит перевернуть сферу? Для обычного человека сфера определяется как множество точек, находящихся на расстоянии R от фиксированной точки O в трехмерном пространстве. Геометр будет называть "сферой" объект, соответствующий "деформированной сфере", как бы "картофелине". Чтобы лучше понять все эти понятия, приобретите диск Lanturlu, содержащий комикс "Le Topologicon". Но математик идет еще дальше. Когда поверхность называется "регулярной", в каждом ее точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет представить бесконечное количество деформаций "исходной сферы" в бесконечное количество "картофелей", при этом площадь поверхности может быть любой. Однако, в "физическом мире" человек, деформирующий сферу, столкнется с невозможностью сделать так, чтобы сфера проходила сама через себя. Если такие пересечения или даже контакты запрещены, говорят о погружениях сферы S2. Но математик имеет все права. Для него сфера - это "воображаемый" объект, где пересечения поверхностей становятся возможными. Ниже приведены рисунки, показывающие сферу, которая "сама себя пересекла". Такую представление сферы называют погружением.
Погружение имеет набор самопересечений (в данном случае - простая круговая кривая). Касательная плоскость должна непрерывно меняться. Однако, если посмотреть на приведенные выше рисунки, можно увидеть, что операция поворачивает часть (показанную зеленым цветом) внутренней части сферы наружу. Чтобы завершить такое переворачивание, необходимо "сплющить" этот "булочный" экватор. Это кажется вначале проблематичным. Такое "сплющивание" нарушит непрерывность касательной плоскости. Таким образом, операция будет включать этап, который не будет погружением.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что "сфера S2 имеет только один класс погружения". Последствием этой загадочной фразы было то, что можно было бы соединить последовательность погружений сферы, позволяющую перейти от "стандартной сферы" к ее "антиподальной" представлению, то есть, когда все точки были заменены на их антиподы. Иными словами, перевернутая сфера, лицевая и оборотная сторона. Рауль Ботт был наставником Смейла. Столь же безупречной казалась формальная доказательство последнего, столь же никто не видел, как это реализовать. Ботт постоянно говорил Смейлу: "Покажи, как ты бы это сделал", на что Смейл, с его знаменитым волоском на языке, отвечал: "У меня нет ни малейшего представления". Позже Смейл получил медаль Филдса, эквивалентную Нобелевской премии, но для математики. На ходу, вы, возможно, зададитесь вопросом, почему Нобель никогда не хотел создать Нобелевскую премию по математике. Ответ прост: его жена ушла с математиком.
Дело оставалось на том на многие годы, пока американский математик Антони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого переворачивания, ужасно сложную. Вторая была придумана в начале 70-х годов французским математиком (слепым) Бернаром Морином. Я был первым, кто нарисовал эту последовательность преобразований, которая, как я уже говорил, станет предметом следующей статьи на сайте, довольно объемной. В общем, это приводит нас к дополнительному выводу. Поверхности могут быть представлены в виде многогранников. Куб или тетраэдр могут рассматриваться как многогранные представления сферы, поскольку эти объекты имеют ту же топологию. В этом вопросе, обратитесь к моему комиксу "Le Topologicon". Кроме того, понятно, что если возможно перевернуть сферу, то можно перевернуть и куб. Преобразование, придуманное Бернаром Морином (которое я иллюстрировал в статье января 1979 года журнала "Pour la science") проходит через центральную модель. В этой последовательности есть симметрия. Это называется "моделью с четырьмя ушами". Я опять предвожу. Но так как сфера может быть представлена в виде многогранника, то так же это возможно и для последовательных этапов этих преобразований. Объект, который вы видите вращающимся на моей главной странице, является многогранной версией центральной модели переворачивания сферы, модель, которую я придумал около десяти лет назад. Преимущество этих многогранных моделей в том, что их можно построить с использованием плоских поверхностей. Их можно даже разрезать по определенным линиям. Посмотрите на следующий рисунок (вместе с этим, я благодарю своего друга Кристофа Тарди, который создал правильно обозначенные элементы).
**Это рисунок, который вы получите на принтере в маленьком формате, непригодный для использования. **
Чтобы распечатать эту фигуру на листе A4
Для этого нужно сделать четыре копии на плотной бумаге A4, две листа одного цвета, две листа другого цвета
Это разрез, который вы можете видеть в общем виде. Но для печати лучше перейти на страницу разрез. Распечатайте ее. Затем, снабдившись этим распечатанным листом на обычной бумаге вашей принтер, идите в копировальный центр и сделайте четыре точных копии этого рисунка, две на зеленых листах и две на желтых. Вы сможете с помощью этого разреза построить центральную модель переворачивания куба.
На этих вырезанных элементах есть пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Вам нужно просто согнуть их, совместив одинаковые буквы, а затем соединить эти грани прозрачным скотчем. Ниже приведены рисунки, показывающие, как собрать один из четырех элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырех элементов:
Вот два из этих четырех элементов, видимые с разных углов.
Эти элементы затем собираются в объект с четырехкратной симметрией или чередуются зеленые и желтые элементы. Чтобы увидеть это в 3D, посмотрите на реализацию мистера Тарди в "виртуальной реальности". Полностью собранный центральный модель также производится в "vrml" в этом разделе. Вот этот объект, видимый с разных углов:
Нельзя сказать, что одна из видов соответствует "верху", а другая - "низу", потому что эти названия были бы полностью произвольными. На левом изображении центральная точка соответствует "двойной точке" (где...)