Как превратить кросс-кап в поверхность Боя (правую или левую — на выбор), пройдя через риманову поверхность Штайнера.
27 сентября – 25 октября 2003 г.
Страница 2
Вот кросс-кап (таким, каким вы его увидели на изображениях виртуальной реальности). Он имеет две точки возврата (киспы), ограничивающие линию самопересечения. Его можно изготовить, сжав шарик щипцами для завивки волос. Однако можно также построить его многогранные модели. Нижняя из них нас особенно заинтересует.
На этом листе 4 находится момент, наиболее трудный для понимания. Мне кажется практически невозможным, чтобы любой желающий понял эти фигуры, просто глядя на рисунки. Постройте эти модели. Проще говоря, точку возврата C2 тянут «внутрь поверхности» (что, кстати, лишено смысла, поскольку, как вы, вероятно, сразу заметили, кросс-кап односторонен). При дальнейшем натяжении поверхность самопересекается, и множество самопересечений дополняется «округлой» частью в виде кривой в форме цифры 8. При этом возникает тройная точка T.
Поверхность лучше воспринимается в своей многогранной форме; внизу мы увеличили некоторые элементы, чтобы показать, что побуждает нас преобразовать этот объект в риманову поверхность Штайнера (см. виртуальную реальность), простейшая многогранная форма которой получается склейкой четырёх кубов (здесь видны только три).
Лист 5: слева — многогранник, справа — «округлая» форма. Стрелка указывает на участок, который мы будем «сжимать». Внизу — начало процесса сжатия.
Лист 6: сжатие осуществляется путём создания особой точки B. Поскольку мы сжимаем с обеих сторон, чтобы сэкономить время, образуются две особые точки S1 и S1, а затем две пары точек возврата. Здесь без картона, ножниц и клейкой ленты вам будет трудно.
Лист 7: мы просто переместили различные точки возврата. Если точка C2 «очевидна», то вам будет немного сложнее распознать точки C3 и C4 как точки возврата. Тем не менее они присутствуют на концах линий самопересечения. Над точкой C3 находится то, что я назвал «позитивным уголком» — точкой концентрации положительной кривизны (точка концентрации отрицательной кривизны называется «негативным уголком»). Небольшой деформацией этого объекта мы получаем многогранную форму римановой поверхности Штайнера (поверхность 4-й степени, изобретённая Штайнером в Риме. См. её представление в виртуальной реальности).
Итак, задача решена. Существует различные типы поверхностей в зависимости от накладываемых правил. Поверхности, не имеющие самопересечений, называются вложениями (сферы, тора в R3). Когда они имеют самопересечения, но касательная плоскость меняется непрерывно, их называют погружениями. Пример: бутылка Клейна в её классическом представлении. В R3 не существует представления бутылки Клейна в виде вложения. Она обязательно имеет самопересечения. Погружения обладают множествами самопересечений, не содержащими точек возврата. Эти кривые непрерывны, но могут пересекаться в точках, являющихся двойными или тройными. Замечание: сферу можно представить в виде погружения, просто заставив её самопересекаться. Именно так удаётся вывернуть сферу наизнанку (А. Филлипс, 1967, с ключевым этапом — двулистным накрытием поверхности Боя; Б. Морен и Ж.-П. Пети, 1979, с центральной моделью — четырёхухой моделью Морена, многогранное представление которой я изобрёл около десяти лет назад и которое приведено ниже).
Развёртка для сборки этого объекта путём вырезания
Если расширить правила игры, предположив, что эти объекты имеют точки возврата, мы получаем погружения с особенностями (кросс-кап, риманова поверхность Штайнера). Не знаю, является ли это точным термином, но, поскольку я не нашёл ни одного математика, который мог бы меня просветить, я счёл забавным временно придумать свой, пока не объявится эксперт-геометр. Таким образом, кросс-кап и риманова поверхность Штайнера были бы погружениями с особенностями «проективной плоскости».
Чтобы быть полностью откровенным, после моих неприятностей, связанных с МГД в течение двадцати пяти лет, я начал эти работы, поскольку они казались мне максимально далёкими от любого военного применения. Однако, как заметил мой старый друг Минь, термин «погружение с особенностями» (submersion) может вызвать путаницу и дать военно-морским силам повод предположить, что через эти исследования я пытаюсь скрыть какой-то прорыв в области подводного движителя.
Правило «создания-уничтожения» пар точек возврата позволяет переходить от одного погружения с особенностями объекта к другому, что мы только что продемонстрировали, показав, что кросс-кап и риманова поверхность Штайнера являются двумя погружениями с особенностями одного и того же объекта, называемого проективной плоскостью. Не пытайтесь представить, как выглядит «проективная плоскость». Этот объект можно постичь только через его различные представления. Что касается самого термина «проективная плоскость», то это лишь одно из тысячи названий, придуманных математиками, чтобы запутать тех, кто хочет проникнуть в их закрытый круг. Словарь Ларусса вам в математике не поможет.
Нам остаётся перейти к поверхности Боя, которая является погружением проективной плоскости.
Предыдущая страница
Следующая
страница
Вернуться к оглавлению «Преобразование кросс-капа в поверхность Боя»
Вернуться к разделу «Новинки» Вернуться
к «Руководству» Вернуться
на «Главную страницу»
Количество просмотров с 25 октября 2003 г. :