Как превратить кросс-кэп в поверхность Буя (правую или левую, на выбор), проходя через римскую поверхность Штейнера.
27 сентября 2003 г.
страница 4
Затем модель представляется под другим углом:
Таблица 14: Та же операция повторяется с созданием третьего «уха» кривой самопересечения. В полиэдральном варианте оно имеет форму трёх квадратов с общей вершиной: тройная точка T.
Таблица 15: поворачивая объект, вы находите полиэдральную версию поверхности Буя, которую я изобрёл и представил в «Топологиконе» (где есть развёртка, позволяющая её построить).
Последняя таблица: я попытался изобразить поверхность Штейнера (четвёртой степени, тогда как поверхность Буя — шестой) в процессе искривления и превращения в поверхность Буя.
Видно, что в «округлом» виде нужна изрядная привычка, чтобы понять объект. Наш глаз очень неуютно чувствует себя, когда речь идёт о понимании объекта, где на одной линии взгляда накладываются более двух слоёв. Отсюда интерес к полиэдральному варианту, который делает доступным для всех преобразования, считающиеся в геометрии изощрёнными, в той мере, в какой люди прилагают усилие строить модели сами. Попутно замечаем, что в зависимости от выбранных пар каспидальных точек получается «правая» или «левая» поверхность Буя (слова совершенно произвольные). Проективная плоскость погружается в двух «энантиоморфных», зеркальных представлениях. Видно, что можно перейти от правой поверхности Буя к левой через «центральную» модель, которой является римская поверхность Штейнера.
Было бы, несомненно, приятно, если бы подобные рисунки публиковались в «Pour la Science» или «La Recherche». Но вот уже двадцать лет я «не подлежу публикации» в этих журналах по причине уфологического девиационизма. Спасибо, господа Эрве Тис и Филипп Буланже. Я уже не считаю статьи такого рода, которые отправлял в эти журналы и которые мне вежливо возвращали. В конце концов привыкаешь к своему статусу отлучённого.
В порядке анекдота: во Франции существует «премия д'Аламбера», предназначенная для награждения авторов книг по популяризации математики. Историю мне рассказал член комиссии, которой поручено определять, кому должна достаться премия (там всё-таки есть кое-какие деньги). Диалог:
— Но в конце концов, разве нельзя присудить премию Пети? Он сделал замечательные труды, такие как «Геометрикон», «Чёрная дыра» и «Топологикон».
— Да, но он сделал не только эти альбомы.
— На что вы намекаете?
— Он ещё написал «Стену молчания».
— А, в таких условиях....
Да, «Стена молчания», вышедшая в 83-м, — это альбом, посвящённый МГД. И, как известно, у этой серной науки есть достоинство или коварство позволять летающим тарелкам двигаться со сверхзвуковой скоростью без «Банга».
Скройте эту науку, которую я не смогу увидеть
У меня в папках есть великолепная версия «выворачивания куба» с прекраснейшей центральной моделью, которая не является полиэдральной версией варианта Морена. Всё моё собственное. Однажды.....
22 октября 2003 г.: На этих страницах не толпятся, если верить счётчику. В понедельник 13 октября 2003 г. я по приглашению Тротмана провёл семинар в CMI (Центр математики и информатики Шато-Гомбер-Марсель). По случаю я смог выставить коллекцию из примерно тридцати картонных моделей, которые вы однажды увидите первыми, поскольку их сфотографировал Кристоф Тарди.
Когда проводишь семинар, возникает атмосфера. На следующей фотографии геометр выражает своё недоумение.
На заднем плане — часть выставленных моделей. В какой-то момент я задал вопрос:
— Кто уже видел римскую поверхность Штейнера? Поднимите руку.
Никто её никогда не видел. Поэтому я счёл полезным представить объект в виртуальной реальности на ноутбуке, который принёс, — объект, созданный при участии Кристофа Тарди, инженера, и Фредерика Дескана из Института Лауэ-Ланжевена в Гренобле (ILL). Видимо, эта презентация озадачивает аудиторию, мало привыкшую видеть математические поверхности, кружащиеся по желанию.
Два картонных панно, видных на переднем плане, позволили представить продолжение моделей в их логическом порядке. «Зелёная и жёлтая» модели иллюстрируют в полиэдральном виде существенный инструмент создания-уничтожения пары каспидальных точек. Самая дальняя белая модель — полиэдральная версия кросс-кэпа, которая сначала превращается в полиэдральную версию римской поверхности Штейнера, на метр дальше, а затем по желанию — в «правую» или «левую» поверхность Буя.
Анализ макетов вызывает разные замечания в аудитории. Один из геометров спрашивает:
— Если, следуя за макетами в этом направлении, можно перейти от кросс-кэпа к поверхности Буя, то, похоже, делая обратное, можно превратить поверхность Буя в кросс-кэп.
Я отвечаю утвердительно. Осмелев, мой собеседник добавляет:
— Если, дойдя до стадии римской поверхности Штейнера, остановиться, то тогда становится возможным двинуться обратно к зеркальной поверхности Буя.
Я одобряю второй раз. Но, увы, никто не предложит разъяснений об этом странном мире, где замкнутым поверхностям придают каспидальные точки, создаваемые или уничтожаемые парами, — всё вместе составляет своего рода расширение мира погружений. Слово «субмерсии» кажется мне изящным. Если какой-нибудь читатель найдёт разъяснения, они будут желанны.
Кривизна, сосредоточенная в каспидальной точке
Её вычисляют, суммируя углы при вершине и сравнивая эту сумму с евклидовой суммой: 2 π.
Вверху и слева изображено одно из множества полиэдральных представлений каспидальной точки. «Разборка» объекта (справа) приводит к сумме, превышающей евклидову сумму 2 π на величину 2 α. Отсюда выводим, что угловая кривизна, сосредоточенная в окрестности этой точки C, равна −2 α. Если угол α равен π/2, то отрицательная кривизна равна c (рисунок внизу и слева). На самом деле кривизна, сосредоточенная в каспидальной точке, может принимать бесконечное множество значений. Внизу и справа мы увеличиваем угловую сумму, и кривизна тогда становится < 2 α. Мы усиливаем отрицательную кривизну.
Действуя обратным образом, можно прийти к довольно поразительной ситуации: сделать так, чтобы (угловая) кривизна, сосредоточенная в C, была... нулевой:
Теперь можно исходить из полиэдрального представления кросс-кэпа, где имеются две каспидальные точки, каждая с отрицательной кривизной, равной −π:
Есть восемь «позиуглов», соответствующих значению +π/2. Добавим ещё четыре «позиугла» кривизны +π/4 и четыре «негаугла» кривизны −π/4.
Плюс две каспидальные точки кривизны −π.
Итого: 2 π.
Разделив эту полную кривизну на 2 π, получаем эйлерову-пуанкареву характеристику всех представлений проективной плоскости (как поверхность Буя).
В ходе своей лекции я упомянул искусство и способ переставлять две каспидальные точки кросс-кэпа, используя выворачивание сферы. Уже не помню, поместил ли я это куда-нибудь на своём сайте. Такой беспорядок. Надо будет поискать, иначе помещу это куда-нибудь. Это довольно забавно. Как бы то ни было, это выступление мало понравилось одному из присутствовавших на семинаре.
— Не вижу, почему Пети использует такую снасть, чтобы доказать симметрию, связывающую две каспидальные точки кросс-кэпа. Есть гораздо проще.
И он нарисовал на доске изображение сферы, сдавленной двумя линейками, которые сводят вплотную и которые действительно дают множество самопересечения в форме отрезка, ограниченного двумя каспидальными точками, как в случае кросс-кэпа. Увы, и наш человек это заметил, это не кросс-кэп.
— Чёрт возьми, но тогда что же это? — спросил кто-то.
Это просто-напросто сфера, снабжённая двумя каспидальными точками. Если их свести вместе, получается линия самопересечения, которая тогда становится простой окружностью. И получается внизу и слева (в разрезе) погружение сферы, которое остаётся лишь превратить в её вложение. Кроме того, можно перейти к полиэдральному представлению этой поверхности:
Это двусторонне, и кривизна равна 2 π.
Итак, с этими «субмерсиями» можно изрядно позабавиться. Возьмём погружение тора, состоящее в том, чтобы вращать знак «бесконечность» или «восьмёрку» вокруг оси.
Техника слияния каспидальных точек позволит нам очень быстро прийти к стандартному вложению тора, как показано в серии рисунков.
Но иногда вещи оказываются не такими уж лёгкими и очевидными. Возьму, например, сферу, которую я сдавливаю между двумя отрезками, на этот раз имеющими длину меньше диаметра. Снова получаются две каспидальные точки.
Поскольку в неё можно вписать ленту Мёбиуса, эта поверхность односторонняя. Приведено её полиэдральное представление, позволяющее вычислить её полную кривизну. Тогда получаем ноль. Если не ошибаюсь, это была бы бутылка Клейна. Обычно известно лишь самое классическое погружение, где линия самопересечения — простая окружность. Но есть и другие, как это. Признаюсь, я ещё не нашёл, как превратить вышеуказанный объект в погружение бутылки Клейна. Впрочем, не знаю, относятся ли различные погружения к одной и той же гомотопической группе (у сферы она только одна). Априори нет, поскольку тор можно погрузить четырьмя разными способами, которые нельзя связать между собой регулярной гомотопией. Пока же я позабавился, превратив эту поверхность, создав две дополнительные каспидальные точки, и тогда получаются два кросс-кэпа, соединённые трубкой. Разрезав их, получаем эйлерову-пуанкареву характеристику, равную нулю.
Эта «странная поверхность» должна была бы суметь превратиться в одно из погружений бутылки Клейна. Но в какое? Во всяком случае, вот одно, полученное вращением «восьмёрки» вокруг оси и заодно заставляя её совершить полуоборот:
Возврат к оглавлению «Превращение кросс-кэпа в поверхность Буя»
Возврат к «Новинкам» Возврат к путеводителю Возврат на главную страницу
Число посещений с 6 октября 2003 г.: