Центральная модель выворачивания куба
31 дек 2001
Вы все видели, как на левой части главной страницы сайта неустанно вращается странный объект. О чём речь?
Однажды, когда у меня будет время, я размещу на сайте описание выворачивания сферы, как я его иллюстрировал в январском номере «Pour la science» 1979 года, то есть... 22 года назад. Всё это, очевидно, потребовало бы массы подробностей и введения. Вывернуть сферу — что это значит? Сфера имеет не одинаковый смысл для человека с улицы и для математика-геометра. Для человека с улицы она определяется как в трёхмерном пространстве место точек, находящихся на расстоянии R от фиксированной точки O этого пространства. Геометр продолжит называть «сферой» объект, который соответствовал бы «деформированной сфере», своего рода «картофелине». Чтобы постичь все эти понятия точнее, приобретите CD Lanturlu с комиксом «Le Topologicon». Но математик идёт ещё дальше. Когда поверхность называется «регулярной», в каждой её точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет envisager бесконечность деформаций «исходной сферы» в бесконечность картофелин, к тому же площадь упомянутой поверхности может быть какой угодно. При этом в «физической вселенной» человек, деформирующий эту сферу, столкнётся с невозможностью заставить её проходить сквозь себя. Если такие прохождения или даже контакты запрещены, то речь пойдёт о вложениях сферы S2. Но математик даёт себе все права. Сфера для него — «виртуальный» объект, где прохождения слоёв становятся возможными. Следующая серия рисунков показывает сферу, которая «самопрошла сквозь себя». Такое представление сферы называется тогда иммерсией.
Иммерсия обладает множеством самопересечений (здесь — простой круговой кривой). Касательная плоскость должна меняться непрерывно. При этом, глядя на рисунки выше, видно, что операция действительно выворачивает часть (представленную зелёным цветом) внутренности сферы наружу. Чтобы завершить такое выворачивание, пришлось бы расплющить эту своего рода экваториальную колбасу. Дело априори кажется проблематичным. Это расплющивание нарушило бы непрерывность касательной плоскости. Операция, следовательно, включала бы этап, который не был бы иммерсией.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что «сфера S2 обладает лишь одним классом иммерсии». Следствием этой сивиллиной фразы было то, что должна существовать возможность выстроить последовательность иммерсий сферы, позволяющую перейти от «стандартной сферы» к её «антиподальному» представлению, то есть такому, где все точки были бы заменены на свои антиподы. Короче... вывернутая сфера, наизнанку. Рауль Ботт был начальником Смейла. Насколько доказательство последнего, чисто формальное, казалось безупречным, настолько никто не видел, как взяться за осуществление операции. Ботт без конца говорил Смейлу: «покажите мне, как вы предполагаете действовать», на что Смейл со своим знаменитым шепелявеньем отвечал: «понятия не имею». Впоследствии Смейл получил медаль Филдса, эквивалент Нобелевской премии, но для математики. Кстати, вы, возможно, зададитесь вопросом, почему Нобель никогда не хотел учреждать Нобелевскую премию по математике. Ответ прост: его жена ушла к математику.
Дела оставались в таком состоянии немало лет, пока американский математик по имени Энтони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого выворачивания, чудовищно сложную. Вторая была изобретена в начале семидесятых французским (слепым) математиком Бернаром Мореном. Я был первым, кто нарисовал эту последовательность преобразований, которая станет, как я уже сказал, предметом следующей статьи на сайте, кстати, довольно объёмной. Как бы то ни было, это приводит нас к побочному выводу. Поверхности могут быть предметом полиэдрических представлений. Куб или тетраэдр можно рассматривать как полиэдрические представления сферы, поскольку эти объекты имеют одинаковую топологию. По этому вопросу см. мой комикс «Le Topologicon». Кроме того, понятно, что если сферу можно вывернуть, то куб тоже можно вывернуть. Преобразование, изобретённое Бернаром Мореном (которое я проиллюстрировал в статье в «Pour la Science» за январь 1979 года), проходит через центральную модель. В этой последовательности есть симметрия. Это то, что называют «центральной моделью с четырьмя ушами». Здесь я снова забегаю вперёд. Но подобно тому, как сфера может допускать полиэдрические представления, то же самое верно и для последовательных этапов этих преобразований. Объект, который вы видите вращающимся на моей главной странице, — это, таким образом, полиэдрическая версия центральной модели выворачивания сферы, модель, которую я изобрёл лет десять назад. Интерес этих полиэдрических моделей в том, что их можно строить из плоских поверхностей. Их можно даже компоновать по развёрткам. Взгляните на рисунок ниже (пользуюсь случаем поблагодарить моего друга Кристофа Тарди, который изготовил его элементы с правильными размерами).
Это рисунок, который выйдет на вашем принтере в малом формате, непригодном для использования.
Чтобы напечатать эту фигуру на листе A4
Затем нужно сделать четыре фотокопии на плотной бумаге A4, два листа одного цвета, два листа другого.
Это развёртка, общий вид которой вы здесь видите. Но чтобы её напечатать, лучше перейдите на страницу развёртки. Распечатайте её. Затем, вооружившись этим экземпляром, напечатанным на обычной бумаге вашего принтера, отправляйтесь к копировальному аппарату и сделайте четыре идентичные копии этого рисунка, две на двух листах зелёного картона и две на жёлтых. С помощью этой развёртки вы сможете построить центральную модель выворачивания куба.
На этих вырезанных элементах у вас есть пары букв: a, b c, d, e, f и т. д.... Вам достаточно выполнить сгибы, совмещая одинаковые буквы, а затем соединить эти грани прозрачной клейкой лентой. Следующие рисунки показывают, как собрать один из четырёх элементов. Сначала вот как нужно начинать сгибание одного из четырёх элементов:
Вот два из этих четырёх элементов, видимые под разными углами.
Затем они компонуются, давая объект с симметрией четвёртого порядка, где чередуются зелёные и жёлтые элементы. Чтобы увидеть это в 3D, взгляните на работы господина Тарди в «виртуальной реальности». Полностью собранная центральная модель также выполнена в «vrml» в этом разделе. Вот этот объект, видимый под разными углами:
Нельзя сказать, что один вид соответствует «верху», а другой — «низу», поскольку эти названия были бы совершенно произвольными. На левом виде «центральная» точка соответствует «двойной точке» (где пересекаются два слоя) центральной модели Морена, тогда как центральная точка справа равнозначна «четверной точке» той же модели (где пересекаются четыре слоя). Мне пришлось тщательно ориентировать объект, чтобы левая фигура не напоминала свастику. Иначе, в архитектурном плане, это полиэдрическое представление центральной модели Морена могло бы стать очень хорошим проектом дома национальной социалистической культуры.
Последний вид:
Последнее замечание: не существует хорошего полиэдрического представления выворачивания сферы (иначе говоря, выворачивания куба). Под «хорошим» нужно понимать последовательность достаточно явных моделей, которые можно собрать в виде развёрток относительно легко, как модель выше. В этом направлении следовало бы провести исследование, доступное любому, возможно, нематематику, пластическому художнику, например. Более двадцати лет назад я преподавал скульптуру в Школе изящных искусств в Экс-ан-Провансе, в те времена, когда ею ещё руководил мой превосходный друг Жак Буйе. Именно в этих помещениях родилось первое меридианное представление поверхности Буа с помощью эллипсов — ключ к построению первого неявного уравнения Апери. Должен сказать, что в то время меня всегда поражало геометрическое воображение студентов-художников, которое очень часто превосходило воображение... геометров.
Счётчик запущен 31 декабря 2001 года. Число подключений:
Возврат к оглавлению математики Виртуальная реальность Возврат к новинкам