Кватернионы

Сфера S3 и кватернионы

BK

Если сфера S3 больше похожа на окружность S1, чем на сферу S2, то это потому, что обе они соответствуют группе единиц некоторого числового тела: тела комплексных чисел для S1 и тела кватернионов для S3. Но это не работает с S2, поскольку R3 не является числовым телом.

Чтобы понять эти структуры, я напомню, как из R2 делают числовое тело, погружая его в алгебру квадратных матриц 2×2 с действительными коэффициентами. Затем мы увидим, что аналогичная конструкция позволяет наделить R4 структурой тела (тела кватернионов), погружая его в алгебру квадратных матриц 2×2 с комплексными коэффициентами.

1. Тело комплексных чисел

Пусть M2(R) — пространство матриц 2×2 с действительными коэффициентами. Это пространство матриц

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

где a,b,c,d — действительные числа. Мы умеем:

1. складывать две матрицы из M2(R),

2. умножать матрицу из M2(R) на действительное число,

3. умножать две матрицы из M2(R) между собой.

Говоря кратко об этих трёх свойствах, M2(R) является алгеброй. Она имеет размерность 4, поскольку для её описания нужно 4 параметра.

Каждому вектору (x,y) плоскости R2 можно сопоставить квадратную матрицу с действительными коэффициентами

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Тогда заметим, что

1. сумма двух таких матриц снова имеет тот же вид

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. произведение такой матрицы z на действительное число l снова имеет тот же вид

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. матричное произведение двух таких матриц — тоже

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Таким образом, мы построили подпространство M2(R), которое обозначим C, устойчивое относительно сложения, умножения на скаляр и матричного умножения. Говорят, что C является подалгеброй M2(R). Она имеет размерность 2. Можно заметить важное свойство этой алгебры: она коммутативна

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

Определитель матрицы z Î C записывается как

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

следовательно, любая ненулевая матрица z из C обратима, и её обратная

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

также принадлежит C. Говорят, что C является телом. Мы только что заново открыли тело комплексных чисел.

Матрица, соответствующая вектору (1,0), — это единичная матрица ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

Матрицу, соответствующую вектору (0,1), обозначим i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Она обладает замечательным свойством

i

2

=

1

i

2

=

1

С этими обозначениями видно, что любое комплексное число единственным образом записывается как

где x и y — действительные числа.

Сопряжённый к элементу z из C определяется как транспонированная матрица z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

В теле комплексных чисел есть два замечательных подпространства. С одной стороны, это кратные единичной матрицы 1, то есть множество матриц вида

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

которое устойчиво относительно сложения и умножения. Это действительное пространство, совпадающее с телом действительных чисел и выступающее как подтело C. Оно также определяется уравнением

Есть также подпространство матриц z с нулевым следом (след матрицы — это сумма её диагональных элементов)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Его называют мнимым пространством. Оно устойчиво относительно сложения, но не относительно умножения. Заметим, что это также пространство 2×2 матриц, которые антисимметричны.

С этими определениями обычное скалярное произведение двух векторов из R2 вычисляется легко. Если z1 — матрица, соответствующая (x1,y1), а z2 — матрица, соответствующая (x2,y2), то --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

Норма вектора (x,y), соответствующего z, записывается как

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Её также называют модулем или нормой комплексного числа z и обозначают | z|. Разумеется, | z1z2| = | z1|| z2|.

Подгруппа единиц тела C, обозначаемая U(1), — это множество элементов z из C, удовлетворяющих

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Это множество устойчиво относительно умножения. Элемент 1 принадлежит U(1). Любой элемент U(1) обратим, и его обратный также принадлежит U(1). Говорят, что U(1) — группа. Внимание: сумма двух элементов U(1) в общем случае не принадлежит U(1). Предыдущая конструкция, таким образом, выявила окружность S1 как группу, группу единичных элементов C. Касательная к окружности S1 в точке 1, которую называют алгеброй Ли группы U(1), — это мнимая прямая, определяемая

2 Тело кватернионов

Определение.

Возьмём предыдущую конструкцию, чтобы наделить R4 структурой тела. Пусть M2(C) — пространство матриц 2×2 с комплексными коэффициентами. Каждой паре комплексных чисел (a,b) можно сопоставить квадратную матрицу с комплексными коэффициентами

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Тогда заметим, что:

1. сумма двух таких матриц снова имеет тот же вид

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. произведение такой матрицы q на действительное число l снова имеет тот же вид

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. матричное произведение двух таких матриц — тоже

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Таким образом, мы построили подалгебру M2(C), которую обозначим K. Но в отличие от C, эта алгебра некоммутативна. Действительно, например,

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

тогда как

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Определитель матрицы q Î K записывается как

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

следовательно, любая ненулевая матрица q из K обратима, и её обратная

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

также принадлежит K. K называют телом кватернионов. Это также действительное векторное пространство размерности 4. Любой кватернион q можно записать в виде

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

где

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Без труда проверяются следующие соотношения:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Обычное скалярное произведение двух векторов в R4, представленных кватернионами

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

и

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

записывается как

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

Норма вектора (t,x,y,z), представленного q, записывается как

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Её также называют модулем или нормой кватерниона q и обозначают | q|. Разумеется, | q1q2| = | q1|| q2|.

Действительные и мнимые кватернионы.

Сопряжённый к элементу q из K определяется как транспонированная сопряжённая матрица q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Кватернион q называется действительным, если он имеет вид

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

где t — действительное число. Это позволяет отождествить R с подтелом K. Подпространство действительных кватернионов определяется уравнением

| q = | - | q |
|---|

Также определяется пространство мнимых кватернионов H уравнением

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Это пространство размерности 3, порождённое I,J,K. Оно также определяется как пространство матриц M из M2(C), антиэрмитовых

M = t`M = - M*

(M* — транспонированная матрица комплексно сопряжённых элементов) с нулевым следом

| Tr | (M) =0 |
|---|

Замечание 1: * В случае тела C мы отметили, что мнимое пространство состояло из действительных 2×2 антисимметричных матриц. Но след антисимметричной матрицы *

tM = - M * необходимо равен нулю, чего нельзя сказать об антиэрмитовой матрице *

M = t`M = - M .*

*Группа единиц. * * *

Подгруппа единиц тела K, обозначаемая SU(2), — это множество элементов q из K, удовлетворяющих

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Это множество точек, принадлежащих сфере S3, которая, таким образом, оказывается наделённой структурой группы, группы SU(2). Касательное пространство (размерности 3) к сфере S3, называемое алгеброй Ли группы SU(2), — это мнимое пространство, определяемое

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Можно проверить, что скобка Ли двух элементов H, X и Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

по-прежнему принадлежит H.

Касательное пространство к сфере S3 в произвольной точке q получается умножением слева на q элементов мнимого пространства H

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Каждая геодезическая сферы S3, исходящая из точки 1 в направлении X (где X принадлежит H и | X| = 1), определяется как

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

Возврат на главную страницу

Число посещений с 14 мая 2004 г. :