Математическая физика и геометрия

Физика и геометрия

2 ноября 2004 года

Математическая физика, одним из основателей которой был математик Жан-Мари Сурио, проходит через геометрию. На протяжении всего этого подхода физические величины, такие как энергия, масса, импульс, спин, электрический заряд, становятся чисто геометрическими величинами благодаря инструменту — теории групп. Что нужно, чтобы проникнуть в этот мир, или в эту форму восприятия мира? Не так уж много: уметь работать с матрицами. Если вы с ними не знакомы, постарайтесь освоиться с ними — это того стоит. Если вы уже сталкивались с этим ранее, освежите свои знания — они могут привести вас очень далеко и ответить на вопросы, такие как:

• Какова истинная природа спина частиц?

• Что такое антиматерия?

Скачать PDF-файл "Физика и геометрия"

Коаджоинтное действие группы Пуанкаре на пространстве моментов

Внимание: только для читателей с сильной научной ориентацией. Это не научная популяризация

24 октября 2004 года

Физика всегда тесно связана с геометрией. Математик Жан-Мари Сурио — один из основателей математической физики. Эта дисциплина основана на геометризации физики, весьма изящной. Всё строится на группах с вещественными коэффициентами, таких как группа Лоренца и группа Пуанкаре, которые здесь представлены матрицами с вещественными коэффициентами. Всё начинается с одной единственной матрицы G, связанной с метрикой пространства Минковского, которое является пространством специальной теории относительности. С помощью этой матрицы определяется первая группа L, представленная матрицами размера (4,4). Эта группа действует на пространство-время, состоящее из событий. Из этих матриц и «вектора пространственно-временного сдвига» C строится вторая группа, представленная матрицами размера (5,5), которая также действует на пространство-время. В этом пространстве-времени рассматриваются «движения». Понятие траектории оказывается слишком бедным. Движение частицы должно быть связано с такими величинами, как её энергия E, импульс p. Для теоретического физика частица, являющаяся «материальной точкой», должна обладать также спином. Но что такое такой объект? Может ли материальная точка «вращаться вокруг себя»?

Сурио геометрически ввёл эти величины, исходя исключительно из групп. Всё это, признаю, довольно сложно. Группа «действует». Всё начинается с понятия действия. Группа действует на движение в том смысле, что элемент группы Пуанкаре преобразует одно движение в другое, которое вписывается в пространство движений — пространство-время. Группа «переносит». Группа Евклида, например, включает в себя сдвиги и повороты в трёхмерном пространстве. Она позволяет переносить точки или множества точек. Эта идея довольно интуитивна. Когда речь идёт о пространстве-времени, мы «переносим» «движения». Рассмотрим два одинаковых пепельницы, расположенные в разных местах трёхмерного пространства. Всегда существует элемент группы Евклида, который с помощью сдвига и поворота может совместить первую пепельницу со второй. Благодаря группе, если мы знаем описание пепельницы в какой-либо точке пространства, мы можем построить «все возможные пепельницы» во всех точках пространства и во всех возможных ориентациях.

В пространстве-времени объект — это «движение». Движения, которые рассматриваются группой Пуанкаре, соответствуют движению «релятивистской материальной точки». Аналогично, зная одно из таких движений, мы знаем все. Частица — это особое движение материальной точки. Можно резюмировать этот взгляд на вещи, используя выражение:

Скажи мне, как ты движешься, и я скажу, кто ты

Сурио показал, что пространство движений должно быть связано со вторым пространством — тем, которое он назвал «пространством моментов». Под «моментом» Сурио понимает параметры, связанные с данной частицей. Когда эта частица «наблюдается» определённым образом, то есть описывается в подходящей системе координат, выделяются три величины:

E, p, s

Энергия E, импульс p и загадочный объект — спин s. Эти величины появляются как чисто геометрические величины через коаджоинтное действие группы на пространстве моментов.

В настоящее время астрофизики работают с объектом, который они называют «тёмной энергией» — единственным новым космологическим компонентом, который, по их мнению, может объяснить явление космической ре-ускорения, вытекающее из наблюдений далёких сверхновых. Эта «тёмная энергия» — ... отрицательная. Покажется, что подход, представленный здесь, также приводит к существованию материальных точек с отрицательной энергией как простого следствия свойств группы Пуанкаре, способной порождать такие движения. Перед тем как перейти к этому, читателю-научному необходимо прочитать этот документ и освоить его. С точки зрения вычислительных методов для этого требуется лишь умение работать с матрицами. Это было на уровне старших классов 15 лет назад, но, похоже, матрицы больше не преподаются на этом уровне. Жаль, это важный инструмент, но, вероятно, это соответствует «совремизации программ».

Скачать документ в формате PDF

Частицы с отрицательной энергией

25 октября 2004 года

В современной астрофизике теоретики всё больше склоняются к тому, что называют «тёмной энергией» — отрицательной, ответственной за космическое ре-ускорение, вытекающее из наблюдений далёких сверхновых.

Теория динамических групп физики (группа Пуанкаре) позволяет прояснить этот сложный вопрос. Как и ранее, здесь речь идёт только о материалах, доступных для учёных или читателей с сильной научной ориентацией.

Скачать этот документ в формате PDF

Электрический заряд: геометрический объект

9 ноября 2004 года

Используя изобретение математика Жан-Мари Сурио — коаджоинтное действие группы на пространстве моментов — мы напомнили, как он вывел энергию, импульс и спин как объекты, чисто геометрические. В дальнейшем мы продолжим его подход, чтобы продемонстрировать появление электрического заряда как также чисто геометрического объекта. Он добавляет пятую размерность к четырёхмерному пространству-времени. Этот пятимерный объект управляется новой динамической группой из одиннадцати измерений — нетривиальным расширением группы Пуанкаре. Увеличение числа измерений группы сопровождается увеличением числа компонент момента, при этом одиннадцатое измерение идентифицируется с электрическим зарядом q.

Скачать этот документ в формате PDF

Вернуться к руководству Вернуться на главную страницу

Количество просмотров этой страницы с 24 октября 2004 года: