Мы «очистили» эту фигуру, чтобы сделать её немного более читабельной. Поверхность — это объект с двумя измерениями, здесь «погружённый» в трёхмерное евклидово пространство R³. Мы можем «увидеть» её сверху. Оказывается, эта поверхность может быть погружена в пространство R³ «изометрически». Иными словами, если мы приклеим ленту на неё, она будет точно совпадать с геодезической, соединяющей две точки A и B поверхности. Длина, измеренная вдоль геодезического дуги, также верна. Она изометрична, этимологически «с той же длиной». Ниже представлена двумерная картина, которая не является изометрической... длина дуги A'B' не равна длине дуги AB. Постройте следующий объект, используя лист бумаги, карандаш и ножницы:
Эта фигура не является изометрической. Во-первых, изображённая кривая не является геодезической плоскости. Во-вторых, ширина дуги AB не является «настоящей длиной», которую можно измерить на «настоящей поверхности», которая «не имеет дыры». Лист бумаги с дырой — это просто полезное представление, больше ничего. То же самое относится к технике рисования с одной стороны листа, а затем с другой, когда вся кривая появляется только в прозрачности.
В следующей фигуре мы показали геодезические поверхности, вычисленные компьютером (что указано в статье).
Пунктирные линии кривых соответствуют ветвям, находящимся «с другой стороны» (как будто мы смотрим на поверхность «сверху»).
Теперь вопрос: можем ли мы построить плоское и изометрическое представление этих геодезических? Ответ — да. Мы видели, что можно изменить переменную r на переменную r. Таким образом, геодезические могут быть представлены на плоскости с «полярными координатами» (r, j). Геодезические (в данном случае не радиальная геодезическая) имеют следующий вид:
Это изометрическое представление. Три точки A, B и C принадлежат поверхности, находясь на одной геодезической. A', B' и C' — гомологичные точки в этом представлении [r, j]. Точки A и B находятся на одном полушарии, и геодезическая дуга, соединяющая их, не пересекает кольцо ворот. Измеренная в этом пространстве вдоль изображения геодезической (которая, очевидно, не является геодезической этого пространства), длина дуги A'B' равна длине дуги AB, измеренной на поверхности.
Дуга BC пересекает сферу ворот. То же самое.
Но эта изометрия не распространяется на все геодезические поверхности. Существует одна, уникальная: кольцо ворот, здесь уменьшенное до точки. Это единственная поверхность, которая закрывается сама на себя.
Геодезические — это единственные вещи, которые у нас есть, чтобы понять поверхность или, более общим образом, неевклидово пространство. Это полезные ориентиры (даже если у нас искаженное восприятие в наших двумерных и трёхмерных системах представления — в перспективе). Мы знаем, что эти геодезические существуют, они внутренние. Геодезические сферы, например, — это большие окружности. В случае пространства-времени они заполнены бесконечным количеством пространственно-временных геодезических. Геодезические существуют внутренне, и чтобы понять их (этимологически: держать, взять в руки), мы пытаемся «ощущать» их, как слепых людей. Однако линии координат пространства-времени не имеют внутренней реальности, и два набора меридианов и параллелей не являются неотъемлемой частью сферы. Они не «предоставлены внутри». Геометрия Шварцшильда, решение уравнения поля Эйнштейна, является гиперповерхностью с 4 измерениями. Теоретики прикрепили к ней целые семейства кривых, «t постоянный», «r постоянный» и т. д.
Никогда не забывайте, что эти действия полностью произвольны, хотя даже специалисты по теоретической космологии часто склонны забывать об этом, и им изредка приходится напоминать математиками-геометрами. Поэтому было вполне допустимо менять координаты пространства-времени.
На этом этапе вы, возможно, скажете: тогда, что говорит нам, что выбор координат лучше другого? Что является разумным или неразумным? Это вопрос вкуса. Выбор координат пространства-времени — это навязывание физического восприятия математическому объекту. В случае Земли мы придали ей полюсы, когда она вращается. Северный полюс — это просто нормаль к поверхности «Земля», направленная к Полярной звезде, звезде, которая остаётся неподвижной на небе.
В вопросах изометрии и неизометрии картография иллюстрирует трудности представления сферы на плоскости. Проекция Меркатора (проекция земной сферы на цилиндр, касающийся экватора) очень удобна для тех, кто живёт рядом с экватором. Однако человек, живущий на одном из полюсов, столкнётся с неприятным сюрпризом: его точечная область превратится в прямую линию...
Существует сотни способов проектирования сферы на плоскость. Допустим, вот так:
Представьте, что мы делаем карты на основе этой модели и продаем их. Мгновенный успех среди тех, кто живёт на обоих полюсах: проекции почти изометричны в этих регионах. Полезно для понимания расстояний в этих зонах. Если бы Земля была обитаема на полюсах и относительно непригодна в других местах, карты, вероятно, были бы сделаны именно так. Однако мы увидим, что окружность границы проекции на плоскости больше не соответствует экватору, а является параллелью (в данном случае в северном полушарии). Вблизи этой области карта будет сильно отличаться от изометрии. Кроме того, на этой странной карте часть земной массы должна быть представлена обычной сплошной линией, а другая часть — пунктирной, потому что она находится за параллелью, где объект, странно, кажется «сворачивающимся на себя». Возможно, мы могли бы предоставить карты на бумажном диске, а остальная часть земной массы появится на обратной стороне листа.
Попробуем теперь «представить всё это в 3D». Мы показали Лантурлу, погружающего левую руку в сферу ворот через два отдельных рисунка, что может показаться, что второй трёхмерный пространство находится «где-то ещё». Чтобы быть правильным, два перспективных рисунка должны быть наложены, а выступающая (правая) рука должна быть представлена пунктирной линией.
Я попытался это сделать, хотя это было не легко. Я мог бы использовать два разных цвета, красный для частей первого трёхмерного пространства нашей несвязной трёхмерной области, зелёный для другой. Красный Лантурл увидел бы свою левую руку, которую он погрузил в сферу, выступающую как зелёная правая рука.
Очевидно, «внутри» сферы ворот ничего нет. Внешний вид внутренней части, объёмного содержимого, просто из-за нашего выбора этого трёхмерного пространства представления. Как и в случае дыры, просверлённой в листе бумаги, там тоже нет бумаги. Это было просто случайность, связанная с выбором этого плоского пространства представления. Если кто-то настаивает на использовании плоского представления без удаления вырезанного диска из бумаги и постоянно задаёт вопрос «что внутри?», он будет полностью «за пределами поля» (или, скорее, «внутри»). Поля не существует.
Вернёмся к 3D. Когда Лантурл погружает руку в сферу ворот, у неё также нет внутренней части. Внешний вид внутренней части просто из-за нашего выбора пространства представления. Мы можем считать, что Лантурл и его выступающая рука нарисованы на трёхмерном листе бумаги, с которого мы удалили... сферу (трёхмерный эквивалент диска листа бумаги). Математически, диск — это «шар b²», а «объёмная сфера» — это «шар b³». Под «шаром» мы подразумеваем сжимаемую ячейку (см. Topologicon на «CD-Lanturlu»), то есть объект, который может сжиматься относительно точки, проходя через себя. Двухмерные и трёхмерные примеры предназначены для иллюстрации плана битвы статьи: сфера Шварцшильда не имеет «внутренней части», ни «центра». Когда мы проходим через неё (гиперторический проход), мы оказываемся «на другой стороне пространства-времени».
Какое обоснование для этого нового интерпретации «геометрии Шварцшильда»?
Ответ: устранение особенностей. Крукс, с его «аналитическим продолжением», сделал всё возможное, чтобы проникнуть в эту «проклятую сферу». Он смог только запереть особенность (роль, которую изначально выполняла сфера Шварцшильда) в точке, находящейся «в центре этого объекта». Люди удовлетворились этим трюком. Однако мы думаем, что лучше без особенностей.
Природа протестует, когда мы смотрим на неё с неправильной стороны, создавая особенности. Именно так мы видим вещи. Это предвзятое представление о том, что «реально». Мы верим, что эти особенности не существуют в природе. Мы также думаем, что бесконечность тоже не существует. Но, как говорил Киплинг, это другая история. В прошлом году я вёл увлекательные дискуссии с Сориау по этому вопросу.
-
Что доказывает, что бесконечность существует? …
-
Но без бесконечности нет математики!
-
Вы когда-нибудь встречали бесконечность? Видели её, держали в руках?
-
Это… удобство.
-
Мы генерируем бесконечно большие числа, предполагая, что мы можем прибавить 1 к числу неопределённо. Мы используем последовательную бесконечность, чтобы создать числовую бесконечность. Она кусает себя за хвост, ваша штука.
-
Хорошо, скажем, что это удобство. Человек изобрёл две важные вещи в своей истории: бесконечность и туалеты…
Я также не верю, что бесконечно малое существует, ни физически, ни математически. Но это будет темой других статей. Давайте оставим эти вопросы на время. Просто отвлечение.
на сайте](/fr/article/f300-f301html)).
Как сказал Архимед, я думаю, на входе в святилище науки: «никто не войдёт сюда, если не геометр». Эти тензоры и другие вещи, область, которую Миди любит, так же непереваримы, как английский пудинг.
Таким образом, через этот разговор мы видим, что наше физическое восприятие этих явлений происходит от того, как мы решаем их представить. Изменяя пространственные координаты, мы изменили «локальную топологию», термин, который требует математического пояснения по мнению Сориау. На самом деле, это мягкий эвфемизм: он просто начал впадать в ярость, когда я произнёс это, и моё кошка Пиум и я имели наибольшие трудности, чтобы его успокоить. Сориау — это профессор Турнессоль математики. Он добровольный практикант высокой математической возмущённости. Однако это возмущение не должно путаться с яростью в прямом смысле. Скорее, я здесь играю роль Мольера в «Месье Журден». Физики часто используют математику, не зная об этом (и наоборот, на самом деле).
Предположим, временно, использование слов «неспецифицированных», всё происходит как будто мы рассматривали только «локальную топологию» геометрии Шварцшильда как «гиперсферическую» (что сфера Шварцшильда «содержит» «шар b³»). Мы сделали её «гиперторической». Именно поэтому я предложил термин «гиперторические геометрии».
Мы упоминали выше инверсию пространства. Она согласована с группами. Можно ли понять это иначе? Мы видели, как Лантурл погружал свою левую руку в сферу ворот и видел, как выходит правая рука. На самом деле, каждый атом его руки следовал «радиальной» геодезической, перпендикулярной поверхности.
Не забудьте в проходе, что эта система представления не является изометрической. Как и в случае бумаги с дыркой. Если мы измерим расстояние, пройденное в двух полупространствах атомом-тестом, принадлежащим руке Лантурла (Арчибальд Хиггин в английских изданиях), оно не совпадёт с реальным расстоянием, измеренным с помощью куска верёвки.
Вернёмся к изображению, показанному ранее.
Здесь мы показали геодезическую дугу AB, пересекающую кольцо ворот и её изображение в плоском представлении ниже. Невысокая изометричность представления становится ещё более очевидной. Длины дуг AB и A'B' сильно различаются.
Очевидно, довольно трудно представить, что можно протянуть верёвку через сферу ворот гиперторического прохода. Натягивая верёвку, мы получим геодезическую (линию кратчайшего пути). В конце концов, если мы измерим длину верёвки в трёхмерном пространстве представления (Лантурл вдавливает свою руку) и решим измерить длину верёвки в этом пространстве, мы получим более короткую длину A'B'. Реальная длина, измеренная в трёхмерной гиперповерхности, будет длиннее, как показано на 2D-рисунке. Трёхмерное представление с Лантурлом, следовательно, не является изометрическим, как и плоское представление выше.
С помощью нескольких рисунков эти тонкие концепции, возникшие из теории групп, становятся менее непонятными, при условии, что «видишь в пространстве». Это то, чему я пытаюсь научить вас, видеть в трёхмерном изогнутом пространстве.
Вернёмся к вопросу энантиоморфности, инверсии объектов при их прохождении через двумерную или трёхмерную структуру ворот. Представьте радиальные геодезические в 2D. Слово стало неправильным, потому что по сути радиус — это прямая линия, исходящая из точки. На самом деле, это геодезические с постоянным j. Посмотрите на предыдущий рисунок, показывающий эту азимутальную координату. Однако, для краткости, мы продолжим использовать слово «радиальный», в кавычках. Обратите внимание, что слово «радиальный» уже является результатом выбора пространства представления. Представьте, что буква R (которая не идентична её зеркальному отражению, её энантиоморфному изображению) скользит, как плохо закреплённый перевод, вдоль нашего торического прохода, каждый его точка движется по геодезической. Буква окажется «на другой стороне». Интересно наблюдать результат операции на плоской проекции в пространстве представления.
Мы показали вид ленты, края которой состоят из двух геодезических. Что мы замечаем? В пространстве представления буква R инвертируется, становясь русской «я», перевёрнутой R, энантиоморфной. Мы начинаем понимать, почему рука Лантурла кажется инвертированной, когда она выходит в трёхмерном пространстве представления, она становится энантиоморфной.