Здесь мы «подчистили» рисунок, чтобы сделать его немного более разборчивым. Поверхность — это двумерный объект, здесь «погружённый» в остальное евклидово трёхмерное пространство в R3. Мы можем «видеть» её сверху. Так уж вышло, что эта поверхность погружаема в пространство R3 «изометрическим образом». То есть если мы наклеим на неё ленту, она действительно впишется в геодезическую, соединяющую две точки поверхности A и B. Длина, измеренная вдоль дуги геодезической, тоже верна. Это изо-метрично, этимологически «одинаковой длины». Ниже приведено двумерное представление, которое не является изометрическим... длина дуги A'B' не равна длине дуги AB. Постройте следующий объект с помощью листа бумаги, карандаша и ножниц:
Этот рисунок не изометричен. Прежде всего, показанная кривая не является геодезической плоскости. Во-вторых, ширина дуги AB не является «реальной длиной», которую можно было бы измерить на «реальной поверхности», которая «не имеет дыры». Лист бумаги с дырой — всего лишь полезное представление, и ничего больше. То же самое относится к технике рисования на одной стороне листа, затем на другой, причём вся кривая появляется только в прозрачности.
На следующем рисунке мы показали геодезические поверхности, вычисленные компьютером (которые фигурируют в статье).
Пунктирные линии кривых соответствуют ветвям на «другой стороне» (как если бы мы смотрели на поверхность «сверху»).
Теперь вопрос: можем ли мы построить плоское и изометрическое представление этих геодезических? Ответ — да. Мы видели, что можем заменить переменную r на переменную r. Таким образом, геодезические можно изобразить в плоскости «полярных координат» ( r , j ). Геодезические (здесь нерадиальная геодезическая) выглядят следующим образом:
Это изометрическое представление. То есть три точки A, B и C, принадлежащие поверхности, расположенные на одной геодезической. A', B' и C' — гомологичные точки в этом представлении [ r , j ]. Точки A и B расположены на одном полулисте, и дуга геодезической, соединяющая их, не пересекает окружность горловины. Измеренная в этой плоскости вдоль образа геодезической (которая, очевидно, не является геодезической этой плоскости), длина дуги A'B' равна длине дуги AB, измеренной на поверхности.
Дуга BC пересекает сферу горловины. То же самое.
Но эта изометрия не распространяется на все геодезические поверхности. Существует одна, единственная в своём роде: окружность горловины, сведённая здесь к точке. Это единственная поверхность, замыкающаяся на себя.
Геодезические — единственное, что у нас есть, чтобы понять поверхность или, в более общем смысле, неплоское, неевклидово пространство. Это полезные маркеры (даже если у нас искажённый взгляд в наших двумерных и трёхмерных системах представления (в перспективе)). Мы знаем, что эти геодезические существуют, что они внутренне присущи. Геодезические сферы, например, — это большие круги. В случае пространства-времени они заполнены бесконечностью пространственно-временных геодезических. Геодезические существуют внутренне присущим образом, и чтобы понять их (этимологически: держать, брать в объятия), мы пытаемся «ощутить» их, как слепые. Однако координатные линии пространства и времени не имеют внутренней реальности, как и два множества меридианов и параллелей не являются неотъемлемой частью сферы. Они не «поставляются внутри». Геометрия Шварцшильда, решение уравнения поля Эйнштейна, является 4-мерной гиперповерхностью. Теоретики налепили на неё целые семейства кривых, «постоянное t», «постоянное r» и т. д.
Никогда не забывайте, что эти жесты совершенно произвольны, хотя даже специалисты по теоретической космологии часто упускают это из виду и время от времени должны призываться к порядку математиками-геометрами. Поэтому было совершенно законно изменить координаты пространства-времени.
На этом этапе вы скажете: так что же говорит нам о том, что один выбор координат лучше другого? Что разумно, а что неразумно? Это вопрос вкуса. Выбор координат пространства-времени означает наложение физического видения на математический объект. В случае Земли мы дали ей полюса, когда она вращается. Северный полюс — это просто нормаль к поверхности «Земля», которая указывает на Полярную звезду, звезду, остающуюся неподвижной в небесах.
В вопросе изометрии и неизометрии картография иллюстрирует трудности при попытке представить сферу на плоскости. Проекция Меркатора (проекция земной сферы на цилиндр, касательный к экватору) очень хороша для тех, кто живёт вблизи экватора. Однако того, кто живёт на одном из полюсов, ждёт неприятный сюрприз: его точечная область превращается в прямую линию...
Существуют сотни способов спроецировать сферу на плоскость. Представим себе это:
Представьте, что мы делаем карты по этой модели и продаём их. Мгновенный успех среди тех, кто живёт на двух полюсах: проекции квазиизометричны в этих регионах. Полезно для получения представления о расстояниях в этих областях. Если бы Земля была обитаема на полюсах и относительно негостеприимна в других местах, карты, несомненно, делались бы именно так. Однако мы бы увидели, что граничная окружность проекции на плоскость больше не соответствует экватору, а соответствует параллели (здесь в северном полушарии). Вблизи этого региона карта будет сильно отклоняться от изометрии. Кроме того, на этой странной карте часть суши должна была бы быть показана нормальной, сплошной линией, а часть — прерывистой, пунктирной, потому что она расположена за параллелью, где объект, как ни странно, кажется, «складывается обратно на себя». Возможно, мы могли бы поставлять карты на бумажном диске, а остальная часть суши появлялась бы на другой стороне листа.
Попробуем «представить всё это в 3D». Мы показали, как Лантюрлю погружает свою левую руку в сферу горловины, с помощью двух отдельных рисунков, что могло бы показаться подразумевающим, что второе 3D-пространство находится «где-то ещё». Чтобы быть правильными, два перспективных рисунка должны быть наложены друг на друга, а появляющаяся (правая) рука представлена пунктирной линией.
Я попытался это сделать, хотя это было нелегко. Я мог бы использовать два разных цвета: красный для частей в первой 3D-стороне нашего неодносвязного 3D-пространства и зелёный для другой. Красный Лантюрлю тогда увидел бы, как красная «левая» рука, которую он засунул в сферу, выходит как зелёная «правая» рука.
Очевидно, «внутри» сферы горловины ничего нет. Появление внутренности, объёмного содержимого, обусловлено лишь нашим выбором этого 3D-пространства представления. Точно так же, как в дыре, вырезанной в листе бумаги, тоже нет бумаги. Это была просто случайность, связанная с выбором этого плоского пространства представления. Если бы кто-то настаивал на использовании плоского представления, не удаляя вырезанный в бумаге диск, и постоянно спрашивал «что внутри», он был бы полностью «вне поля» (или скорее... в нём). Поля не существует.
Вернёмся к 3D. Когда Лантюрлю погружает руку в сферу горловины, у неё тоже нет внутренности. Появление внутренности обусловлено просто нашим выбором пространства представления. Мы могли бы считать, что Лантюрлю и его появляющаяся рука нарисованы на листе бумаги, имеющем три измерения и из которого мы удалили... сферу (3D-эквивалент диска листа бумаги). Математически диск — это «b2-шар», а «объём сферы» — это «b3-шар». Под «шаром» мы подразумеваем стягиваемую клетку (см. Топологикон на «CD-Lanturlu»), то есть объект, который может стягиваться в точку, проходя через себя. Двумерный и трёхмерный примеры служат для иллюстрации боевого плана статьи: сфера Шварцшильда не имеет «внутренности», «центра». Когда мы пересекаем её (гиперторический проход), мы оказываемся «на другой стороне пространства-времени».
Чем оправдана эта новая интерпретация «геометрии Шварцшильда»?
Ответ: устранением сингулярностей. Крускал своей «аналитической протяжённостью» сделал всё возможное, чтобы проникнуть в эту «проклятую сферу». Ему удалось лишь загнать сингулярность (роль, которую изначально играла сфера Шварцшильда) в точку, расположенную «в центре этого объекта». Люди удовлетворились этим фокусом. Однако мы считаем, что лучше без сингулярности.
Природа протестует, когда мы смотрим на неё с неправильной стороны, выделяя сингулярности. Так мы видим вещи. Это предвзятый взгляд на то, что «реально». Мы верим, что этих сингулярностей в природе не существует. Мы также думаем, что бесконечности тоже не существует. Но, как сказал Киплинг, это другая история. Год назад у меня были оживлённые дискуссии с Сурьо по этому вопросу.
- Что доказывает, что бесконечность существует? ....
- Но без бесконечности нет математики! ....
- Вы когда-нибудь встречали бесконечность? Видели её, держали в руке?
- Это... удобство.
- Мы порождаем бесконечно большие числа, предполагая, что можем прибавлять 1 к числу *неограниченно*. Мы используем последовательную бесконечность, чтобы породить числовую бесконечность. Она кусает себя за хвост, ваша штука.
- Ладно, скажем, что это удобство. Человек изобрёл две важные вещи за свою историю: бесконечность и туалеты...
Я также не верю, что бесконечно малое существует — ни физически, ни математически. Но это будет предметом других работ. Оставим пока эти вопросы в стороне. Простое отступление.
Попутно см. «Scale Invariant Cosmology» П. Миди и Ж.-П. Пети, International Journal of Modern Physics D, июнь 1999, страницы 271-280, где мы заставили исчезнуть «начальную сингулярность вселенной». Это более математически выстроенная переформулировка идеи, опубликованной мной в 88-89 годах в Modern Physics Letters A (работы на сайте).
Как сказал, полагаю, Архимед у входа в святилище науки: «пусть не входит сюда никто, кто не геометр». Эти тензоры и прочее, область, которую любит Миди, так же неудобоваримы, как английский пудинг.
Мы видим, таким образом, через это обсуждение, что наше физическое видение этих явлений происходит из того, как мы решаем их представлять. Модифицируя пространственные координаты, мы изменили «локальную топологию» — термин, который требует математического уточнения, согласно Сурьо. На самом деле фраза — мягкий эвфемизм: он просто начал буйствовать, когда я это сказал, и его кот Пиум и я с величайшим трудом его успокоили. Сурьо — это профессор Турнесоль математики. Он добровольный практик высокого математического негодования. Однако это негодование не следует путать с гневом в тривиальном смысле слова. Скорее, то, что я играю мольеровского «Мещанина во дворянстве», — это в этой области. Физики часто используют математику, не зная этого (и наоборот, на самом деле).
Допуская, временно, использование «неуточнённых» слов, всё происходит так, как если бы мы считали только, что «локальная топология» геометрии Шварцшильда является «гиперсферической» (что сфера Шварцшильда «содержит» «B3-шар»). Мы сделали её «гиперторической». Вот почему я предложил термин «гиперторические геометрии».
Ранее мы упоминали инверсию пространства. Это обсуждается с группами. Можем ли мы понять это иначе? Мы видели, что Лантюрлю погрузил левую руку в сферу горловины и увидел, как выходит правая рука. На самом деле каждый атом его руки следовал «радиальной» геодезической, перпендикулярной поверхности.
Не забудем упомянуть попутно, что эта система представления не изометрична. Как и с бумагой с дырой. Если мы измерим расстояние, пройденное в двух полупространствах пробным атомом, принадлежащим руке Лантюрлю (Арчибальда Хиггинса в английских выпусках), оно не совпадёт с реальным расстоянием, измеренным верёвкой.
Вернёмся к рисунку, показанному ранее.
Здесь мы показали дугу геодезической AB, которая пересекает окружность горловины, и её образ в плоском пространстве представления ниже. Неизометрический характер представления становится ещё более очевидным. Длины дуг AB и A'B' очень различны.
Очевидно, довольно трудно представить, что мы можем продеть верёвку в сферу горловины гиперторического прохода. Натягивая верёвку, мы получили бы геодезическую (линию кратчайшего пути). В конце концов, если бы мы измерили длину верёвки в 3D-пространстве представления (Лантюрлю засовывает руку) и решили измерить длину верёвки в этом пространстве, мы нашли бы более короткую длину A'B'. Реальная длина, измеренная в 3D-гиперповерхности, была бы длиннее, как показано на 2D-рисунке. Таким образом, 3D-представление с Лантюрлю неизометрично, как и плоское представление выше.
С помощью нескольких рисунков эти тонкие концепции, разработанные из теории групп, становятся менее герметичными, при условии, что человек «видит в пространстве». Вот чему я пытаюсь вас научить — видеть в трёхмерном искривлённом пространстве.
Вернёмся к вопросу энантиоморфии, инверсии объектов, когда они пересекают двумерную или трёхмерную структуру горловины. Представим радиальные геодезические в 2D. Слово стало некорректным, потому что в принципе радиус — это прямая линия, исходящая из точки. На самом деле речь идёт о геодезических с постоянным j. См. более ранний рисунок, который показывал эту азимутальную координату. Однако для большей краткости мы продолжим использовать слово «радиальный» в кавычках. Заметьте, слово «радиальный» уже является результатом выбора пространства представления. Представьте, что буква R (которая не идентична своему зеркальному изображению, своему энантиоморфному образу) скользит, как плохо закреплённая переводная картинка, вдоль нашего торического прохода, причём каждая её точка движется по геодезической. Буква окажется «на другой стороне». Интересно посмотреть на результат операции на плоской проекции в пространстве представления.
Мы показали своего рода ленту, края которой состоят из двух геодезических. Что мы замечаем? В пространстве представления буква R инвертируется и становится русской «Я», перевёрнутой R, энантиоморфной. Мы начинаем понимать, почему рука Лантюрлю кажется инвертированной, когда она появляется в «3D-пространстве представления», она становится энантиоморфной.
